1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
151
x
∗
∈ ∂ f (x) ⇔ f
◦
(x ; d) ≥ f
◦
(x ; 0) + +x
∗
, d − 0 pour tout d ∈ E.
L’établissement des règles de calcul suit donc le cheminement suivant :
– Démontrer en premier lieu des relations d’inégalité entre dérivées
directionnelles généralisées ;
– Appliquer les règles de calcul sous-différentiel (de fonctions convexes)
à ces fonctions dérivées directionnelles généralisées ;
– En déduire des règles de comparaison, sous forme d’inclusions, entre
sous-différentiels généralisés.
Règles de calcul 6.12
Toutes les fonctions en jeu sont localement Lipschitz, bien entendu.
(i) ∂(α f )(x) = α ∂ f (x) pour tout α ∈ R. En particulier,
∂(− f )(x) = − ∂ f (x).
(6.16)
(ii)
∂( f + g)(x) ⊂ ∂ f (x) + ∂g(x).
(6.17)
(iii) Si ¯
x est un minimiseur local ou un maximiseur local de f , alors :
0 ∈ ∂ f ( ¯
x).
(6.18)
(iv) "Semicontinuité extérieure" de la multiapplication ∂ f : E ⇒ E ∗ :
Si (x k ) → x, x ∗
k ∈ ∂ f (x k )
et si x ∗
k → x ∗ (pour la topologie faible − ∗, σ(E ∗ , E)),
alors x ∗ ∈ ∂ f (x).
⎫
⎬
⎭
(6.19)
(v) Théorème des accroissements finis (ou de la valeur moyenne) : Supposons [x, y] ⊂ O ; il existe alors t ∈ ]0, 1[ tel que
f (y) − f (x) ∈ ∈∂ f [x + t (y − x)], y − x
(6.20)
:=
x
∗
, y − x | x
∗
∈ ∂ f [x + t (y − x)]
.
(vi) Si f = max( f 1 , . . . , f k ),
∂ f (x) ⊂ co
∂ f i (x) | i tels que f i (x) = f (x)
.
(6.21)
151
x
∗
∈ ∂ f (x) ⇔ f
◦
(x ; d) ≥ f
◦
(x ; 0) + +x
∗
, d − 0 pour tout d ∈ E.
L’établissement des règles de calcul suit donc le cheminement suivant :
– Démontrer en premier lieu des relations d’inégalité entre dérivées
directionnelles généralisées ;
– Appliquer les règles de calcul sous-différentiel (de fonctions convexes)
à ces fonctions dérivées directionnelles généralisées ;
– En déduire des règles de comparaison, sous forme d’inclusions, entre
sous-différentiels généralisés.
Règles de calcul 6.12
Toutes les fonctions en jeu sont localement Lipschitz, bien entendu.
(i) ∂(α f )(x) = α ∂ f (x) pour tout α ∈ R. En particulier,
∂(− f )(x) = − ∂ f (x).
(6.16)
(ii)
∂( f + g)(x) ⊂ ∂ f (x) + ∂g(x).
(6.17)
(iii) Si ¯
x est un minimiseur local ou un maximiseur local de f , alors :
0 ∈ ∂ f ( ¯
x).
(6.18)
(iv) "Semicontinuité extérieure" de la multiapplication ∂ f : E ⇒ E ∗ :
Si (x k ) → x, x ∗
k ∈ ∂ f (x k )
et si x ∗
k → x ∗ (pour la topologie faible − ∗, σ(E ∗ , E)),
alors x ∗ ∈ ∂ f (x).
⎫
⎬
⎭
(6.19)
(v) Théorème des accroissements finis (ou de la valeur moyenne) : Supposons [x, y] ⊂ O ; il existe alors t ∈ ]0, 1[ tel que
f (y) − f (x) ∈ ∈∂ f [x + t (y − x)], y − x
(6.20)
:=
x
∗
, y − x | x
∗
∈ ∂ f [x + t (y − x)]
.
(vi) Si f = max( f 1 , . . . , f k ),
∂ f (x) ⊂ co
∂ f i (x) | i tels que f i (x) = f (x)
.
(6.21)