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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
Exemple 6.10 Soit g : [0, 1] → R continue. Quand on était petit on a
appris que la fonction f : x ∈ [0, 1] → f (x) :=
x
0 g(t) dt est continûment
dérivable, avec f (x) = g(x).
Soit à présent g un élément de L ∞ ([0, 1] , R). On définit alors f : [0, 1] → R
comme au-dessus : f (x) =
x
0 g(t) dt. Il est facile de voir que f est Lipschitz
sur [0, 1]. Question : que récupère alors ∂ f (x) ? Voici la réponse. Posons :
g σ (x 0 ) = ess.inf
|x−x 0 |<σ
g(x), g σ (x 0 ) = ess.sup
|x−x 0 |<σ
g(x), pour σ > 0,
puis
g(x 0 ) = lim
σ → 0 +
g σ (x 0 ), g(x 0 ) = lim
σ → 0 +
g σ (x 0 ).
Alors,
∂ f (x 0 ) =
g(x 0 ), g(x 0 )
.
Exemple 6.11 Soit H un espace de Hilbert et S une partie fermée non vide
de H . Nous avons vu au § 2.2 du Chapitre 2 l’importance de la fonctiondistance à S, d S , et de ses associés (
1
2 d 2
S , ϕ S , , S ). Or, la fonction d S est
toujours Lipschitz sur H (avec L = 1 comme constante de Lipschitz). C’est
donc le moment de se familiariser avec le sous-différentiel généralisé ∂ d S (x)
de d S en des points x /
∈ S et x ∈ Fr S. Le lecteur-étudiant est invité à traiter
des exemples simples dans R 2 ou R 3 pour voir comment se construit ∂ d S (x)
et les convexes compacts particuliers qu’on en tire (en particulier, ∂ d S (x) ⊂
B(0, 1)).
1.2 Sous-différentiels généralisés au sens de CLARKE : Règles de
calcul basiques
Les règles de calcul basiques sur les sous-différentiels généralisés sont directement dérivées des règles de calcul sur les sous-différentiels de fonctions
convexes (du Chapitre 4). En effet, ∂ f (x) est le sous-différentiel en 0 de la
fonction convexe positivement homogène f ◦ (x ; ·) :
continue en x. Ainsi :
f est strictement diff´ erentiable sur O
⇔
f est continˆ ument diff´ erentiable sur O
.
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
Exemple 6.10 Soit g : [0, 1] → R continue. Quand on était petit on a
appris que la fonction f : x ∈ [0, 1] → f (x) :=
x
0 g(t) dt est continûment
dérivable, avec f (x) = g(x).
Soit à présent g un élément de L ∞ ([0, 1] , R). On définit alors f : [0, 1] → R
comme au-dessus : f (x) =
x
0 g(t) dt. Il est facile de voir que f est Lipschitz
sur [0, 1]. Question : que récupère alors ∂ f (x) ? Voici la réponse. Posons :
g σ (x 0 ) = ess.inf
|x−x 0 |<σ
g(x), g σ (x 0 ) = ess.sup
|x−x 0 |<σ
g(x), pour σ > 0,
puis
g(x 0 ) = lim
σ → 0 +
g σ (x 0 ), g(x 0 ) = lim
σ → 0 +
g σ (x 0 ).
Alors,
∂ f (x 0 ) =
g(x 0 ), g(x 0 )
.
Exemple 6.11 Soit H un espace de Hilbert et S une partie fermée non vide
de H . Nous avons vu au § 2.2 du Chapitre 2 l’importance de la fonctiondistance à S, d S , et de ses associés (
1
2 d 2
S , ϕ S , , S ). Or, la fonction d S est
toujours Lipschitz sur H (avec L = 1 comme constante de Lipschitz). C’est
donc le moment de se familiariser avec le sous-différentiel généralisé ∂ d S (x)
de d S en des points x /
∈ S et x ∈ Fr S. Le lecteur-étudiant est invité à traiter
des exemples simples dans R 2 ou R 3 pour voir comment se construit ∂ d S (x)
et les convexes compacts particuliers qu’on en tire (en particulier, ∂ d S (x) ⊂
B(0, 1)).
1.2 Sous-différentiels généralisés au sens de CLARKE : Règles de
calcul basiques
Les règles de calcul basiques sur les sous-différentiels généralisés sont directement dérivées des règles de calcul sur les sous-différentiels de fonctions
convexes (du Chapitre 4). En effet, ∂ f (x) est le sous-différentiel en 0 de la
fonction convexe positivement homogène f ◦ (x ; ·) :
continue en x. Ainsi :
f est strictement diff´ erentiable sur O
⇔
f est continˆ ument diff´ erentiable sur O
.