1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
149
Exemple 6.8 Soit f : x ∈ R → f (x) = −|x |. Alors, ∂ f (0) = [−1, +1].
De manière plus générale, si f : O ⊂ E → R est concave et continue sur O,
alors
∂ f (x) =
x
∗
∈ E
∗
| f (y) ≤ f (x) + +x
∗
, y − x pour tout y ∈ E
,
c’est-à-dire le sur-différentiel de f en x.
Exemple 6.9 Soit f : R → R définie par :
f (x) = x
2 sin
1
x
si x = 0, f (0) = 0.
C’est l’exemple, connu de tous les agrégatifs, d’une fonction dérivable sur R
mais pas continûment dérivable sur R. De fait,
f
(x) = 2x sin
1
x
− cos
1
x
si x = 0,
(6.15)
laquelle dérivée n’a pas de limite quand x → 0.
Or, f est localement Lipschitz sur R (ceci est facile à voir, grâce au fait que f
est localement bornée). Un calcul simple à partir de (6.15) montre que
v ∈ R | ∃ (x k ) → 0, f
(x k ) → v
= [−1, +1] ,
d’où ∂ f (0) = [−1, +1]. Ainsi, alors que f (0) = 0, ∂ f (0) récupère en
quelque sorte l’information sur l’oscillation de f (x) autour de 0.
D’une manière plus générale, si la fonction localement Lipschitz f : O ⊂
E → R est Fréchet-différentiable en x ∈ O, D f (x) ∈ ∂ f (x). Ceci
n’est pas véritablement une faiblesse car, rappelons-nous (Propriétés 6.6,
(ii)) ∂ f (x) = {D f (x)} en tout x ∈ O lorsque f est continûment différentiable sur O. 1
1 Pour être tout à fait précis, c’est un renforcement de la Fréchet-différentiabilité en x, appelée
stricte différentiabilité de f en x, qui assure que ∂ f (x) est un singleton. Définition : f est dite
strictement différentiable en x s’il existe l ∗ ∈ E ∗ telle que
f (y) − f (z) − −l ∗ , y − z
y − z
→ 0 quand y → x, z → x, y = z.
Cette définition, dans le cas des fonctions de la variable réelle, remonte à G. Peano (1892)
qui estimait qu’elle "rendait compte du concept de dérivée utilisée dans les sciences physiques
beaucoup mieux que ne le faisait la définition de la dérivée usuelle". Si f est différentiable
dans un voisinage de x, la stricte différentiabilité de f en x équivaut au fait que D f est
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Exemple 6.8 Soit f : x ∈ R → f (x) = −|x |. Alors, ∂ f (0) = [−1, +1].
De manière plus générale, si f : O ⊂ E → R est concave et continue sur O,
alors
∂ f (x) =
x
∗
∈ E
∗
| f (y) ≤ f (x) + +x
∗
, y − x pour tout y ∈ E
,
c’est-à-dire le sur-différentiel de f en x.
Exemple 6.9 Soit f : R → R définie par :
f (x) = x
2 sin
1
x
si x = 0, f (0) = 0.
C’est l’exemple, connu de tous les agrégatifs, d’une fonction dérivable sur R
mais pas continûment dérivable sur R. De fait,
f
(x) = 2x sin
1
x
− cos
1
x
si x = 0,
(6.15)
laquelle dérivée n’a pas de limite quand x → 0.
Or, f est localement Lipschitz sur R (ceci est facile à voir, grâce au fait que f
est localement bornée). Un calcul simple à partir de (6.15) montre que
v ∈ R | ∃ (x k ) → 0, f
(x k ) → v
= [−1, +1] ,
d’où ∂ f (0) = [−1, +1]. Ainsi, alors que f (0) = 0, ∂ f (0) récupère en
quelque sorte l’information sur l’oscillation de f (x) autour de 0.
D’une manière plus générale, si la fonction localement Lipschitz f : O ⊂
E → R est Fréchet-différentiable en x ∈ O, D f (x) ∈ ∂ f (x). Ceci
n’est pas véritablement une faiblesse car, rappelons-nous (Propriétés 6.6,
(ii)) ∂ f (x) = {D f (x)} en tout x ∈ O lorsque f est continûment différentiable sur O. 1
1 Pour être tout à fait précis, c’est un renforcement de la Fréchet-différentiabilité en x, appelée
stricte différentiabilité de f en x, qui assure que ∂ f (x) est un singleton. Définition : f est dite
strictement différentiable en x s’il existe l ∗ ∈ E ∗ telle que
f (y) − f (z) − −l ∗ , y − z
y − z
→ 0 quand y → x, z → x, y = z.
Cette définition, dans le cas des fonctions de la variable réelle, remonte à G. Peano (1892)
qui estimait qu’elle "rendait compte du concept de dérivée utilisée dans les sciences physiques
beaucoup mieux que ne le faisait la définition de la dérivée usuelle". Si f est différentiable
dans un voisinage de x, la stricte différentiabilité de f en x équivaut au fait que D f est