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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
(ii) Si f est continûment différentiable sur O, alors :
∂
Cl f (x) = {D f (x)} pour tout x ∈ O.
(iii) Si f est convexe et continue sur O, alors
∂
Cl f (x) = ∂ f (x)
le sous-diff´ erentiel de f en x, au sens de
l’Analyse convexe (Chapitre 4)] .
(iv) Si f = max( f 1 , . . . , f k ), où chaque fonction f i est continûment différentiable sur O, alors :
∂
Cl f (x) = co {D f i (x) | i tels que f i (x) = f (x)} .
(6.12)
En raison de la propriété (iii) ci-dessus, on notera désormais ∂ f (x) (sans la
référence Cl) le sous-différentiel généralisé de f en x. D’ailleurs, le vocable
"sous-différentiel généralisé" doit être compris au sens de "généralisation de
sous-différentiel" ; il n’y a rien "qui vient par dessous" pas plus que "par
dessus". L’appellation d’origine de Clarke était "gradient généralisé".
Revenons au contexte de la dimension finie (E = R n ) pour compléter ce que
nous avions commencé à observer page 144.
Propriétés 6.7 Si f : O ⊂ R n → R est localement Lipschitz sur O, alors,
pour tout x ∈ O :
∂ f (x) = co ∇
− →
f (x)
(6.13)
= co
v ∈ R
n
| ∃ (x k ) → x, f diff´ erentiable en x k , ∇ f (x k ) → v
.
f
◦
(x ; d) = lim sup
x → x
∇ f (x
), d | f diff´ erentiable en x
.
(6.14)
La propriété (6.13) permet de "voir" sur des exemples comment est fait ∂ f (x).
Une version un peu plus générale que (6.14) est comme suit. Supposons
que f admette en tout point x d’un voisinage de x, une dérivée directionnelle
usuelle :
f (x ; d) = lim
t→ 0 +
f (x +t d)− f (x )
t
, d ∈ R n . Alors, pour tout d ∈ R n ,
f
◦
(x ; d) = lim sup
x → x
f
(x
; d).
(6.14 bis)
La dérivée directionnelle généralisée f ◦ (x ; ·) apparaît donc comme une
"version régularisée (en allant regarder autour de x)" de la dérivée directionnelle usuelle f (x ; ·).
Donnons quelques exemples d’illustrations diverses.