1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
147
Démonstration. Contentons-nous de démontrer (6.9). Par définition,
f
◦
(x ; −d) := lim sup
x → x
t → 0 +
f (x − t d) − f (x )
t
.
Avec le changement de variables u := x − t d, le quotient différentiel
ci-dessus n’est autre que
(− f )(u + t d) − (− f )(u)
t
.
Prendre la limite supérieure quand u → x et t → 0 + permet de récupérer (− f ) ◦ (x ; d) à l’arrivée.
Puisque f ◦ (x ; ·) est automatiquement convexe et continue sur E (et même
Lipschitz sur E), positivement homogène, il est tentant de considérer les
formes linéaires continues minorant f ◦ (x ; ·). C’est précisément ce qui donne
naissance au sous-différentiel généralisé (au sens de Clarke) de f en x.
Définition 6.5 Le sous-différentiel généralisé de f en x, au sens de Clarke,
est
∂
Cl f (x) :=
x
∗
∈ E
∗
| |x
∗
, d ≤ f
◦
(x ; d) pour tout d ∈ E
.
(6.10)
On aurait pu être tenté d’utiliser la fonction concave f ♦ (x ; ·) de (6.7) et
les formes linéaires continues majorant f ♦ (x ; ·). Cela n’aurait rien changé
in fine puisque, grâce à la relation f ♦ (x ; d) = − f ◦ (x ; −d) (valable pour
tout d ∈ E), il découle
x ∗ ∈ E ∗ | |x ∗ , v ≥ f ♦ (x ; v) pour tout v ∈ E
= {x ∗ ∈ E ∗ | |x ∗ , d ≤ f ◦ (x ; d) pour tout d ∈ E} .
Désormais, c’est toute la machinerie de l’Analyse convexe (Chapitre 4)
qui va être appliquée à ∂ Cl f (x) via la fonction convexe f ◦ (x ; ·).
Énonçons en vrac quelques propriétés de ∂ Cl f .
Propriétés 6.6
(i) ∂ Cl f (x) est un convexe σ (E ∗ , E)-compact non vide de E ∗ ; sa fonction
d’appui est f ◦ (x ; ·), i.e.
∀ d ∈ E, f
◦
(x ; d) =
sup
x ∗ ∈ ∂ Cl f (x)
x
∗
, d.
(6.11)
147
Démonstration. Contentons-nous de démontrer (6.9). Par définition,
f
◦
(x ; −d) := lim sup
x → x
t → 0 +
f (x − t d) − f (x )
t
.
Avec le changement de variables u := x − t d, le quotient différentiel
ci-dessus n’est autre que
(− f )(u + t d) − (− f )(u)
t
.
Prendre la limite supérieure quand u → x et t → 0 + permet de récupérer (− f ) ◦ (x ; d) à l’arrivée.
Puisque f ◦ (x ; ·) est automatiquement convexe et continue sur E (et même
Lipschitz sur E), positivement homogène, il est tentant de considérer les
formes linéaires continues minorant f ◦ (x ; ·). C’est précisément ce qui donne
naissance au sous-différentiel généralisé (au sens de Clarke) de f en x.
Définition 6.5 Le sous-différentiel généralisé de f en x, au sens de Clarke,
est
∂
Cl f (x) :=
x
∗
∈ E
∗
| |x
∗
, d ≤ f
◦
(x ; d) pour tout d ∈ E
.
(6.10)
On aurait pu être tenté d’utiliser la fonction concave f ♦ (x ; ·) de (6.7) et
les formes linéaires continues majorant f ♦ (x ; ·). Cela n’aurait rien changé
in fine puisque, grâce à la relation f ♦ (x ; d) = − f ◦ (x ; −d) (valable pour
tout d ∈ E), il découle
x ∗ ∈ E ∗ | |x ∗ , v ≥ f ♦ (x ; v) pour tout v ∈ E
= {x ∗ ∈ E ∗ | |x ∗ , d ≤ f ◦ (x ; d) pour tout d ∈ E} .
Désormais, c’est toute la machinerie de l’Analyse convexe (Chapitre 4)
qui va être appliquée à ∂ Cl f (x) via la fonction convexe f ◦ (x ; ·).
Énonçons en vrac quelques propriétés de ∂ Cl f .
Propriétés 6.6
(i) ∂ Cl f (x) est un convexe σ (E ∗ , E)-compact non vide de E ∗ ; sa fonction
d’appui est f ◦ (x ; ·), i.e.
∀ d ∈ E, f
◦
(x ; d) =
sup
x ∗ ∈ ∂ Cl f (x)
x
∗
, d.
(6.11)