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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
La majoration (6.6) vient immédiatement du fait que
f (x + t d) − f (x )
t
≤ L d
pour t > 0 assez petit et x voisin de x.
On aurait pu être tenté de prendre une limite inférieure au lieu d’une limite
supérieure dans (6.5) :
f
♦
(x ; d) := lim inf
x → x
t→ 0 +
f (x + t d) − f (x )
t
.
(6.7)
Cela n’aurait pas changé le fond de l’affaire puisque
f
♦
(x ; d) = − f
◦
(x ; −d),
comme cela est aisé à vérifier. Rien de vraiment nouveau donc par rapport
à f ◦ (x ; ·).
Signalons avant d’aller plus loin que la limite supérieure
f
◦
(x ; d) := lim sup
x → x
t → 0 +
f (x + t d) − f (x )
t
= inf
ε>0
r >0
sup
t∈ ]0,ε]
x ∈ B(x,r )
f (x + t d) − f (x )
t
est "atteinte" par une suite (x k ) → x et (t k ) → 0 + , c’est-à-dire : Il existe une
suite (x k ) convergeant vers x et une suite (t k > 0) convergeant vers 0 telles
que
f
◦
(x ; d) = lim sup
k→ +∞
f (x k + t k d) − f (x k )
t k
.
Cela peut aider dans certaines démonstrations.
Propriétés 6.4
(i) (x, d) ∈ E × E → f ◦ (x ; d) est semicontinue supérieurement (comme
fonction de x et d donc). Cela signifie :
∀ (x k ) → x, ∀(d k ) → d, lim sup
k→ +∞
f
◦
(x k ; d k ) ≤ f
◦
(x ; d).
(6.8)
(ii) "Symétrisation" :
∀ d ∈ E, (− f )
◦
(x ; d) = f
◦
(x ; −d).
(6.9)