1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
145
d ∈ E → f
◦
(x ; d) := lim sup
x → x
t → 0 +
f (x + t d) − f (x )
t
.
(6.5)
On aurait pu ajouter d → d dans la limite supérieure de définition dans (6.5),
cela n’aurait rien changé au résultat puisque
f (x + t d ) − f (x )
t
−
f (x + t d) − f (x )
t
≤ L
d
− d
pour t > 0 assez petit et x voisin de x (car f est Lipschitz de constante L
dans un voisinage de x).
Comme cela était attendu, f ◦ (x ; 0) = 0 et f ◦ (x ; α d) = α f ◦ (x ; d) pour
tout α > 0. Plus surprenant, et essentiel pour la suite des évènements, est la
propriété de convexité que voici :
Propriété 6.3
La fonction d ∈ E → f ◦ (x ; d) est convexe continue sur E. On a même :
∀ d ∈ E, | f
◦
(x ; d)| ≤ L d ,
(6.6)
où L est une constante de Lipschitz pour f dans un voisinage de x.
Démonstration. Puisque f ◦ (x ; ·) est positivement homogène ( f ◦ (x ; α d) =
α f ◦ (x ; d) pour tout d ∈ E et tout α > 0), la convexité de f ◦ (x ; ·) revient
à sa sous-additivité. A-t-on
f
◦
(x; u + v) ≤ f
◦
(x; u) + f
◦
(x; v) ?
On a clairement :
f
◦
(x ; u + v) := lim sup
x → x
t → 0 +
f (x + t u + t v) − f (x )
t
≤ lim sup
x → x
t → 0 +
f (x + t u + t v) − f (x + t u)
t
+ lim sup
x → x
t → 0 +
f (x + t u) − f (x )
t
≤ f
◦
(x ; v) + f
◦
(x ; u).
Comme le montre nettement la démonstration ci-dessus, c’est vraiment cette
approche qui a consisté à aller voir "ce qui se passe autour de x" qui a permis
d’accéder à la convexité de f ◦ (x ; ·).