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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
f (x + t d) − f (x )
t
≤ L d .
(6.2)
Une première tentation, et donc tentative, dans ce contexte où E = R n , est
de "ramasser toutes les limites de gradients" : pour x ∈ O, on définit ainsi
∇
− →
f (x) :=
v ∈ R
n
| ∃ (x k ) → x, f diff. en x k , ∇ f (x k ) → v
. (6.3)
Il est facile de voir que ∇
− →
f (x) est un compact non vide de R n , pas nécessairement convexe pour autant. À titre d’exemples :
– Si f : x ∈ R → f (x) = |x |, ∇
− →
f (0) = {−1, +1} ;
– Si f : O ⊂ R n → f (x) est continûment différentiable sur O, ∇
− →
f (x) =
{∇ f (x)} pour tout x ∈ O.
Nous n’allons pas plus loin dans cette démarche ; nous y reviendrons plus
loin.
Quand on pense différentiabilité de f en x, on pense inévitablement à des
quotients différentiels
f (x + t d) − f (x)
t
, où d ∈ E et t > 0.
(6.4)
Qu’en faire lorsque f n’est pas différentiable en x ? On a beau essayer des
limites supérieures ou inférieures quand t → 0 + à partir de (6.4), on récupère à l’arrivée une sorte de dérivée directionnelle généralisée f (1) (x, d)
dont la seule propriété tangible est qu’elle est positivement homogène en la
direction d : f (1) (x, α d) = α f (1) (x, d) pour tout α > 0.
Une approche différente, décisive quant à l’utilité du concept qui va suivre,
consiste à considérer le quotient différentiel de (6.4) pas en x seul mais dans
un voisinage de x. Elle est due à F. Clarke (1973) et a marqué le renouveau de ce qu’on appelle parfois l’Analyse non-lisse (Nonsmooth analysis en
anglais).
1.1 Dérivées directionnelles généralisées et sous-différentiels
généralisés au sens de CLARKE : Définitions et premières
propriétés
On considère toujours, et sans le rappeler à chaque fois, une fonction f :
O ⊂ E → R localement Lipschitz sur l’ouvert O de E et x ∈ O.
Définition 6.2
La dérivée directionnelle généralisée de f en x, au sens de Clarke, est
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
f (x + t d) − f (x )
t
≤ L d .
(6.2)
Une première tentation, et donc tentative, dans ce contexte où E = R n , est
de "ramasser toutes les limites de gradients" : pour x ∈ O, on définit ainsi
∇
− →
f (x) :=
v ∈ R
n
| ∃ (x k ) → x, f diff. en x k , ∇ f (x k ) → v
. (6.3)
Il est facile de voir que ∇
− →
f (x) est un compact non vide de R n , pas nécessairement convexe pour autant. À titre d’exemples :
– Si f : x ∈ R → f (x) = |x |, ∇
− →
f (0) = {−1, +1} ;
– Si f : O ⊂ R n → f (x) est continûment différentiable sur O, ∇
− →
f (x) =
{∇ f (x)} pour tout x ∈ O.
Nous n’allons pas plus loin dans cette démarche ; nous y reviendrons plus
loin.
Quand on pense différentiabilité de f en x, on pense inévitablement à des
quotients différentiels
f (x + t d) − f (x)
t
, où d ∈ E et t > 0.
(6.4)
Qu’en faire lorsque f n’est pas différentiable en x ? On a beau essayer des
limites supérieures ou inférieures quand t → 0 + à partir de (6.4), on récupère à l’arrivée une sorte de dérivée directionnelle généralisée f (1) (x, d)
dont la seule propriété tangible est qu’elle est positivement homogène en la
direction d : f (1) (x, α d) = α f (1) (x, d) pour tout α > 0.
Une approche différente, décisive quant à l’utilité du concept qui va suivre,
consiste à considérer le quotient différentiel de (6.4) pas en x seul mais dans
un voisinage de x. Elle est due à F. Clarke (1973) et a marqué le renouveau de ce qu’on appelle parfois l’Analyse non-lisse (Nonsmooth analysis en
anglais).
1.1 Dérivées directionnelles généralisées et sous-différentiels
généralisés au sens de CLARKE : Définitions et premières
propriétés
On considère toujours, et sans le rappeler à chaque fois, une fonction f :
O ⊂ E → R localement Lipschitz sur l’ouvert O de E et x ∈ O.
Définition 6.2
La dérivée directionnelle généralisée de f en x, au sens de Clarke, est