1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
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f et g localement Lipschitz sur O ;
λ et μ r´ eels
⇒
λ f + μ g localement
Lipschitz sur O
;
f et g localement Lipschitz sur O
⇒
f g localement Lipschitz sur O
;
f localement Lipschitz sur O ;
f (x) = 0 pour tout x ∈ O
⇒
1
f localement Lipschitz sur O
;
f 1 , . . . , f k localement
Lipschitz sur O
⇒
max( f 1 , . . . , f k ) et min( f 1 , . . . , f k )
localement Lipschitz sur O
.
Cette dernière implication a son importance car l’opération ( f 1 , . . . , f k ) →
max( f 1 , . . . , f k ) détruit la différentiabilité. Une illustration, fréquente en
théorie de l’Approximation, est :
f localement Lipschitz sur O
⇒
| f | localement Lipschitz sur O
.
Parmi les classes de fonctions déjà rencontrées et qui sont localement
Lipschitz, notons :
O convexe et f : convexe
(ou concave) continue sur O
⇒
f est localement Lipschitz sur O
;
f continˆ ument diff´ erentiable
sur O
⇒
f est localement Lipschitz sur O
.
Il existe néanmoins des fonctions différentiables sur O qui ne sont pas
localement Lipschitz sur O ; nous en donnerons un exemple plus loin. Mais
cette subtilité n’est pas rédhibitoire. Dans le cas où E est de dimension finie,
disons E = R n , signalons le beau résultat que voici.
Théorème 6.1 (H. RADEMACHER, 1919)
Une fonction f : O ⊂ R n → R localement Lipschitz sur O est différentiable
presque partout sur O (c’est-à-dire en tous les points de O, à l’exception de
ceux d’un ensemble de mesure de Lebesgue nulle).
Rappelons qu’ici les différentiabilités au sens de Gâteaux, Hadamard ou
Fréchet sont équivalentes (cf. Annexe du Chapitre 2). De plus, le caractère
localement Lipschitz de f fait que ∇ f (x ), là où il existe dans un voisinage
de x, est "contrôlé" par la constante de Lipschitz, il "n’explose pas". En termes
plus mathématiques, pour tout x ∈ O, il existe r > 0 et L ≥ 0 tels que
∇ f (x
) | x
∈ B(x, r ) et f est diff´ erentiable en x
⊂ B(0, L).
Ceci est dû au fait que, pour x voisin de x,