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CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
Dans cette cohérence ascendante cherchant à toucher une classe de fonctions
aussi vaste que possible, nous sommes conduits à faire des choix parmi tous
les sous-différentiels généralisés proposés par les mathématiciens lors des
trente-cinq dernières années. Ces choix dépendent de ce qu’on veut faire :
– S’il s’agit de traiter les problèmes variationnels ou d’optimisation dans
leur formulation abstraite, dériver des conditions nécessaires d’optimalité
par exemple, il y a alors plusieurs sous-différentiels généralisés possibles.
Nous présenterons en deuxième partie de chapitre un échantillon de ces
candidats, objets d’Analyse parfois très fins et subtils.
– S’il s’agit d’algorithmique pour traiter des problèmes non différentiables,
il n’y a pas besoin de généralité maximale mais bien de disposer d’un
outil avec des règles de calcul robustes. Dans ce but, nous consacrerons la
première partie de ce chapitre au gradient généralisé ou sous-différentiel
généralisé au sens de F. Clarke.
Il y a sur le sujet de nombreux ouvrages, complets et bien faits ; nous en
indiquons quelques-uns à la fin du chapitre.
Points d’appui / Prérequis :
• Règles du calcul différentiel usuel. Annexe du Chapitre 2.
• Techniques de l’Analyse convexe (Chapitre 4), plus spécifiquement les
règles de calcul sous-différentiel.
1 Sous-différentiation généralisée de fonctions localement
Lipschitz
Soit (E, ·) un espace de Banach, O un ouvert de E (prendre O = E
pour fixer les idées) et f : O ⊂ E → R une fonction localement Lipschitz
(ou localement lipschitzienne) sur O. Rappelons (ou indiquons) que f est
localement lipschitzienne sur O lorsque :
Pour tout x de O, il existe un voisinage V ⊂ O de x (mettons que
V = B(x, r )) et une constante L ≥ 0 tels que :
| f (u) − f (v)| ≤ L u − v pour tout u et v dans B(x, r ).
(6.1)
La classe des fonctions localement Lipschitz sur O est remarquablement
stable pour toutes les opérations usuelles de l’Analyse. Par exemple :
CHAPITRE 6. SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS
Dans cette cohérence ascendante cherchant à toucher une classe de fonctions
aussi vaste que possible, nous sommes conduits à faire des choix parmi tous
les sous-différentiels généralisés proposés par les mathématiciens lors des
trente-cinq dernières années. Ces choix dépendent de ce qu’on veut faire :
– S’il s’agit de traiter les problèmes variationnels ou d’optimisation dans
leur formulation abstraite, dériver des conditions nécessaires d’optimalité
par exemple, il y a alors plusieurs sous-différentiels généralisés possibles.
Nous présenterons en deuxième partie de chapitre un échantillon de ces
candidats, objets d’Analyse parfois très fins et subtils.
– S’il s’agit d’algorithmique pour traiter des problèmes non différentiables,
il n’y a pas besoin de généralité maximale mais bien de disposer d’un
outil avec des règles de calcul robustes. Dans ce but, nous consacrerons la
première partie de ce chapitre au gradient généralisé ou sous-différentiel
généralisé au sens de F. Clarke.
Il y a sur le sujet de nombreux ouvrages, complets et bien faits ; nous en
indiquons quelques-uns à la fin du chapitre.
Points d’appui / Prérequis :
• Règles du calcul différentiel usuel. Annexe du Chapitre 2.
• Techniques de l’Analyse convexe (Chapitre 4), plus spécifiquement les
règles de calcul sous-différentiel.
1 Sous-différentiation généralisée de fonctions localement
Lipschitz
Soit (E, ·) un espace de Banach, O un ouvert de E (prendre O = E
pour fixer les idées) et f : O ⊂ E → R une fonction localement Lipschitz
(ou localement lipschitzienne) sur O. Rappelons (ou indiquons) que f est
localement lipschitzienne sur O lorsque :
Pour tout x de O, il existe un voisinage V ⊂ O de x (mettons que
V = B(x, r )) et une constante L ≥ 0 tels que :
| f (u) − f (v)| ≤ L u − v pour tout u et v dans B(x, r ).
(6.1)
La classe des fonctions localement Lipschitz sur O est remarquablement
stable pour toutes les opérations usuelles de l’Analyse. Par exemple :