Chapitre 6
SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS DE
FONCTIONS NON DIFFÉRENTIABLES
"Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la
solution." P. Erdös (1913-1996)
"You are never sure whether or not a problem is good unless
you actually solve it." M. Gromov (Abel Prize, 2009)
Les problèmes variationnels ou d’optimisation font intervenir, de manière
naturelle, des fonctions qui ne sont pas différentiables. Certes ces fonctions
sont différentiables en la plupart des points, mais ne le sont pas aux "points
intéressants". Les objectifs d’un calcul différentiel généralisé sont, au moins :
"que ça fonctionne" (eu égard aux opérations usuelles de l’Analyse) ; "que
ça s’utilise" (Algorithmique, problèmes applicatifs).
En démarrant ce chapitre, il y a déjà deux contextes dans lesquels on sait
évoluer et qu’il s’agit d’englober et de généraliser : celui des fonctions différentiables et celui des fonctions convexes. Ainsi, tout nouvel objet mathématique visant à "différentier des fonctions non différentiables" devra se réduire
à la différentielle usuelle dans le cas des fonctions différentiables (ou du
moins continûment différentiables) et à celui de sous-différentiel dans le cas
de fonctions convexes.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
141
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_6,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS DE
FONCTIONS NON DIFFÉRENTIABLES
"Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la
solution." P. Erdös (1913-1996)
"You are never sure whether or not a problem is good unless
you actually solve it." M. Gromov (Abel Prize, 2009)
Les problèmes variationnels ou d’optimisation font intervenir, de manière
naturelle, des fonctions qui ne sont pas différentiables. Certes ces fonctions
sont différentiables en la plupart des points, mais ne le sont pas aux "points
intéressants". Les objectifs d’un calcul différentiel généralisé sont, au moins :
"que ça fonctionne" (eu égard aux opérations usuelles de l’Analyse) ; "que
ça s’utilise" (Algorithmique, problèmes applicatifs).
En démarrant ce chapitre, il y a déjà deux contextes dans lesquels on sait
évoluer et qu’il s’agit d’englober et de généraliser : celui des fonctions différentiables et celui des fonctions convexes. Ainsi, tout nouvel objet mathématique visant à "différentier des fonctions non différentiables" devra se réduire
à la différentielle usuelle dans le cas des fonctions différentiables (ou du
moins continûment différentiables) et à celui de sous-différentiel dans le cas
de fonctions convexes.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
141
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_6,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013