1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
153
0 ∈ ∂ f ( ¯
x) ⊂ ∂g( ¯
x) − ∂h( ¯
x),
c’est-à-dire : ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x) = ∅. C’est précisément cette définition que
nous avons adoptée pour un point T-critique (ou T-stationnaire) de f =
g − h.
– La relation (6.20) est très simple, et pourtant elle est très utile, ne seraitce qu’en algorithmique où on est fréquemment en situation de comparer f (x k + t k d k ) à f (x k ). Or
f (x k + t k d k ) = f (x k ) + t k s k , d k ,
où s k ∈ ∂ f (θ k ) et θ k est un point intermédiaire entre x k et x k + t k d k .
– Avoir des égalités dans les inclusions des règles de calcul 6.12 requiert,
a priori, des hypothèses fortes sur le comportement des fonctions au
voisinage de x. L’une d’entre elles est que, pour les fonctions f en jeu,
la dérivée directionnelle usuelle f (x ; ·) existe et coïncide avec la dérivée directionnelle généralisée f ◦ (x ; ·). Certes, ceci est vérifié pour les
fonctions continûment différentiables ou les fonctions convexes, mais a
peu de chances de l’être pour une fonction non convexe qui ne serait pas
différentiable en x.
1.3 Un exemple d’utilisation des sous-différentiels généralisés :
les conditions nécessaires d’optimalité dans un problème
d’optimisation avec contraintes
Considérons, même si ce n’est pas un contexte aussi général que souhaité,
un problème d’optimisation avec des contraintes inégalités :
(P)
Minimiser f (x)
g 1 (x) ≤ 0, . . . , g p (x) ≤ 0 (ensemble contrainte not´ e S).
Dans le monde différentiable, c’est-à-dire celui où toutes les données f ,
g 1 , . . . , g k : E → R sont des fonctions différentiables, et même continûment
différentiables, les conditions nécessaires d’optimalité (du 1 er ordre) prennent
les formes que voici.
Conditions à la F. JOHN. Si ¯
x ∈ S est un minimiseur local de f sur S, alors
il existe ¯
μ 0 , ¯
μ i (i ∈ I ( ¯
x)), positifs et non tous nuls tels que :
¯
μ 0 D f ( ¯
x) +
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i Dg i ( ¯
x) = 0.
(6.23)
153
0 ∈ ∂ f ( ¯
x) ⊂ ∂g( ¯
x) − ∂h( ¯
x),
c’est-à-dire : ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x) = ∅. C’est précisément cette définition que
nous avons adoptée pour un point T-critique (ou T-stationnaire) de f =
g − h.
– La relation (6.20) est très simple, et pourtant elle est très utile, ne seraitce qu’en algorithmique où on est fréquemment en situation de comparer f (x k + t k d k ) à f (x k ). Or
f (x k + t k d k ) = f (x k ) + t k s k , d k ,
où s k ∈ ∂ f (θ k ) et θ k est un point intermédiaire entre x k et x k + t k d k .
– Avoir des égalités dans les inclusions des règles de calcul 6.12 requiert,
a priori, des hypothèses fortes sur le comportement des fonctions au
voisinage de x. L’une d’entre elles est que, pour les fonctions f en jeu,
la dérivée directionnelle usuelle f (x ; ·) existe et coïncide avec la dérivée directionnelle généralisée f ◦ (x ; ·). Certes, ceci est vérifié pour les
fonctions continûment différentiables ou les fonctions convexes, mais a
peu de chances de l’être pour une fonction non convexe qui ne serait pas
différentiable en x.
1.3 Un exemple d’utilisation des sous-différentiels généralisés :
les conditions nécessaires d’optimalité dans un problème
d’optimisation avec contraintes
Considérons, même si ce n’est pas un contexte aussi général que souhaité,
un problème d’optimisation avec des contraintes inégalités :
(P)
Minimiser f (x)
g 1 (x) ≤ 0, . . . , g p (x) ≤ 0 (ensemble contrainte not´ e S).
Dans le monde différentiable, c’est-à-dire celui où toutes les données f ,
g 1 , . . . , g k : E → R sont des fonctions différentiables, et même continûment
différentiables, les conditions nécessaires d’optimalité (du 1 er ordre) prennent
les formes que voici.
Conditions à la F. JOHN. Si ¯
x ∈ S est un minimiseur local de f sur S, alors
il existe ¯
μ 0 , ¯
μ i (i ∈ I ( ¯
x)), positifs et non tous nuls tels que :
¯
μ 0 D f ( ¯
x) +
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i Dg i ( ¯
x) = 0.
(6.23)