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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
– Montrer que −α peut s’écrire comme l’infimum d’une fonction f
sur H , où f est du type indiqué au début de l’exercice.
– Établir :
− α = inf
u ∈ dom h ∗
h
∗
(u) − σ S (y)
,
(5.20)
où σ S désigne la fonction d’appui de S.
3) Formulation variationnelle de la plus grande valeur propre de A 0
Soit A une matrice (symétrique) définie positive de taille n ; on désigne
par λ M la plus grande valeur propre de A.
– Se souvenant de la formulation λ M = max
x≤1
Ax, x, montrer en utilisant la méthodologie développée dans la question 2 que
−
λ M
2
= inf
u ∈ R n
1
2
A
−1 u, u − u
.
(5.21)
– En modifiant la formulation variationnelle de λ M de départ, montrer
−
λ M
2
= inf
u ∈ R n
1
2
u
2
−
Au, u
.
(5.22)
Exercice 8 (Distance entre une fonction et sa régularisée de MOREAUYOSIDA)
Soit H un espace de Hilbert et f : H → R∪{+∞} convexe s.c.i.. Pour r > 0,
on désigne par f r sa régularisée de Moreau-Yosida, c’est-à-dire :
f r := f
r
2
·
2
.
Montrer :
inf
x ∈H
f (x) − ( f
r
2
·
2
) (x)
= inf
u ∈ dom f ∗
r
2
u
2
.
Hint : Utiliser la technique de dualisation d.c..
Exercice 9 (Formulations variationnelles diverses de la plus grande valeur propre de A 0)
Soit A 0. On désigne par λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ n les valeurs propres de A
rangées dans un ordre décroissant. Pour λ k valeur propre de A, on désigne
par S λ k l’ensemble des vecteurs propres unitaires associés à λ k .