EXERCICES
137
1) Reformuler (P) comme un problème du Modèle 2 : convexe + quadratique et écrire son problème dual (P ◦ ).
2) On suppose que A est inversible. Vérifier que :
inf(P) = 0 ´
equivaut `
a la copositivit´ e de A,
sup(P ◦ ) = 0 ´
equivaut `
a la copositivit´ e de A −1 .
Exercice 6 (Dualisation d.c. de la notion de copositivité d’une matrice)
Pour A ∈ S n (R), on considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
Minimiser
1
2 Ax, x
x ∈ R n
+ .
Soit r > max {λ max (A), 0}.
1) Montrer que (P) est équivalent à un problème d.c. (cf. Modèle 3),
avec f = g − h, où :
g(x) :=
r
2
x
2
+ i R n + (x), h(x) :=
1
2
(r I n − A) x, x.
2) Interpréter tous les résultats du § 3 (cas du Modèle diff-convexe) dans ce
contexte.
Exercice 7 (Formule donnant la conjuguée de la différence de deux
fonctions)
Soit H un espace de Hilbert et f : H → R ∪ {+∞} structurée de la manière
suivante :
f = g − h, o` u g : H → R ∪ {+∞} et h : H → R.
1) – Soit y ∈ H . Montrer :
f
∗
(y) ≥ sup
u ∈ dom h ∗
g
∗
(y + u) − h
∗
(u)
.
(5.19)
– On suppose de plus que h est continue sur H . Montrer alors que l’inégalité (5.19) devient une égalité.
– Que disent les résultats précédents dans le cas particulier où y = 0 ?
2) Maximisation d’une fonction convexe sur un ensemble
On considère le problème de la maximisation d’une fonction convexe
continue h : H → R sur un ensemble non vide S de H ; on pose α :=
sup
x ∈ S
h(x).