EXERCICES
139
1) Première formulation variationnelle
On définit
S A : x ∈ R
n
→ S A (x) := x
2
− 2
Ax, x.
(5.23)
a) Montrer que inf
x ∈ R n
S A (x) = −λ 1 (déjà vu à la question 3 de l’Exercice 7) et que l’infimum est atteint en tout point
√
λ 1 e 1 , où e 1 ∈ S λ 1 .
b) Montrer que l’ensemble des points critiques non nuls de S A est :
λ k e k | e k ∈ S λ k , k = 1, . . . , n
et que si λ k = λ 1 ,
√
λ k e k est un point-selle de S A .
2) Deuxième formulation variationnelle
On définit
P A : x ∈ R
n
→ P A (x) := x
4
− 2 Ax, x.
(5.24)
a) Montrer que inf
x ∈ R n
P A (x) = −λ 1
2 et que l’infimum est atteint en tout
point
√
λ 1 e 1 , où e 1 ∈ S λ 1 .
b) Montrer que l’ensemble des points critiques non nuls de P A est :
λ k e k | e k ∈ S λ k , k = 1, . . . , n
et que si λ k = λ 1 ,
√
λ k e k est un point-selle de S A .
3) Troisième formulation variationnelle
On définit
L A : 0 = x ∈ R
n
→ L A (x) := x
2
− ln(Ax, x).
(5.25)
a) Montrer que inf
0 = x ∈ R n
L A (x) = 1 − ln λ 1 et que l’infimum est atteint
en tout point x de S λ 1 .
b) Montrer que l’ensemble des points critiques de L A est
1 ≤ k ≤ n
S λ k et
que tous les
1 < k ≤ n
S λ k sont des points-selles de L A .