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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Lorsque ¯
x est un point T-critique, la valeur f ( ¯
x) = g( ¯
x) − h( ¯
x) est appelée
valeur T-critique de f .
Évidemment, cette notion de T-criticité de f dépend de la décomposition
d.c. f = g − h de f .
Comme conséquence de la Proposition 5.8, nous avons :
• Si ¯
x est un minimiseur local de f = g − h et si ∂h( ¯
x) = ∅, alors ¯
x est un
point T-critique de f .
• Si ¯
x est un maximiseur local de f = g − h et si ∂g( ¯
x) = ∅, alors ¯
x est un
point T-critique de f .
Nous allons établir des liens entre les points T-critiques de f = g − h et ceux
de f = h ∗ − g ∗ . De manière à définir un cheminement (et des notations)
parallèle(s) à ceux du § 2, nous supposons pour simplifier que E est un espace
de Hilbert (noté H ).
Théorème 5.10
(i) Si ¯
x est un point T-critique de f = g − h, alors ¯
y ∈ ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x) est
un point T-critique de f = h ∗ − g ∗ .
(ii) Si ¯
y est un point T-critique de f = h ∗ − g ∗ , alors ¯
x ∈ ∂g ∗ ( ¯
y) ∩ ∂h ∗ ( ¯
y)
est un point T-critique de f = g − h.
Démonstration. Soit ¯
x un point T-critique de f = g − h et ¯
c = f ( ¯
x) la valeur
T-critique correspondante. Pour ¯
y ∈ ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x), on a :
g ∗ ( ¯
y) + g( ¯
x) = = ¯
x, ¯
y,
h ∗ ( ¯
y) + h( ¯
x) = = ¯
x, ¯
y,
(5.17)
d’où, en faisant une différence,
¯
c = g( ¯
x) − h( ¯
x) = h
∗
( ¯
y) − g
∗
( ¯
y).
(5.18)
Les relations (5.17) indiquent que ¯
x ∈ ∂g ∗ ( ¯
y) ∩ ∂h ∗ ( ¯
y), c’est-à-dire que ¯
y
est un point T-critique de f = h ∗ − g ∗ . La relation (5.18) montre de surcroît
que les valeurs T-critiques correspondantes (de f et de f ) sont les mêmes.
La démonstration de (ii) se fait de la même manière.
En écho au Corollaire 5.6 du § 2, nous avons :
Corollaire 5.11
L’ensemble des valeurs T-critiques de f coïncide avec l’ensemble des valeurs
T-critiques de f .
Remarque générale : Nous terminons ce paragraphe par une remarque