3. MODÈLE 3 : DIFF-CONVEXE
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générale concernant les hypothèses sur les fonctions g et h de la décomposition f = g − h de la fonction-objectif f dans (P). Il s’avère que pour
obtenir les résultats décrits dans ce paragraphe, la convexité de g (la première
fonction) n’est pas essentielle : on peut remplacer g par g ∗∗ = co g. Ceci est
compréhensible si on regarde par exemple le problème de la maximisation
de g sur C, reformulé en problème d.c. comme la minimisation de i C − h
sur E (cf. page 130) : maximiser h sur C et maximiser h sur co C reviennent
au même.
L’hypothèse de convexité de h (la deuxième fonction) est, elle, incontournable.
Exercices
Exercice 1 (Enveloppe convexe de la variété de Stieffel)
Soit T n
m :=
M ∈ M m,n (R) | M T M = I m
. Cet ensemble est appelé variété
de Stieffel.
Pour m = n, T n
n est l’ensemble des matrices orthogonales n × n.
Montrer que
co T
n
m =
M ∈ M m,n (R) | M sp ≤ 1
,
c’est-à-dire la boule unité fermée de M m,n (R) pour la norme spectrale · sp .
Rappel : M sp = σ 1 (M), la plus grande valeur singulière de M.
Exercice 2 (Enveloppe convexe de l’ensemble des matrices de rang
inférieur à k)
Pour M ∈ M m,n (R) et p := min(m, n), on désigne par σ 1 (M) ≥ σ 2 (M) ≥
. . . ≥ σ p (M) les valeurs singulières de M rangées dans un ordre décroissant.
Deux normes matricielles sont utilisées ici et dans l’Exercice 4. :
M sp = σ 1 (M)
(· sp est appel´ ee norme spectrale)
M ∗ =
p
i=1
σ i (M) (· ∗ est appel´ ee parfois norme nucl´ eaire).
Pour k ∈ {1, 2, . . . , p } et r > 0, on pose :
S
r
k :=
M ∈ M m,n (R) | rang M ≤ k et M sp ≤ r
.
Montrer que