3. MODÈLE 3 : DIFF-CONVEXE
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Remarques
– Contrairement à ce qui se passe dans la dualisation de problèmes de minimisation convexe, l’existence de ¯
x ∈ E et de ¯
x ∗ ∈ E ∗ tels que f ( ¯
x) =
f ( ¯
x ∗ ) n’implique pas que ¯
x est une solution de (P) et ¯
x ∗ une solution
de (P ).
– Dans la dualisation f = g − h f = h ∗ − g ∗ , il n’y a pas de raison
de privilégier la minimisation par rapport à la maximisation ; des résultats
similaires à ceux du Théorème 5.7 s’obtiennent mutatis mutandis pour le
problème de la maximisation de f = g − h sur E.
(P) et (P ) sont des problèmes de minimisation non convexes ; donc des
minimiseurs locaux différents des minimiseurs globaux peuvent apparaître.
La condition nécessaire de minimalité du 1 er ordre ci-après, déjà observée
pour des minimiseurs globaux, est valable pour les minimiseurs locaux.
Proposition 5.8
Soit ¯
x un minimiseur local de f = g − h sur E. Alors :
∂h( ¯
x) ⊂ ∂g( ¯
x).
(5.16)
Démonstration. Pour x dans une boule B( ¯
x, r ), on a :
f (x) = g(x) − h(x) ≥ f ( ¯
x) = g( ¯
x) − h( ¯
x),
soit encore
g(x) − g( ¯
x) ≥ h(x) − h( ¯
x).
Soit ¯
x ∗ ∈ ∂h( ¯
x). De la relation de base h(x) − h( ¯
x) ≥ ≥ ¯
x ∗ , x − ¯
x et de
l’inégalité au-dessus on déduit
g(x) − g( ¯
x) ≥ ≥ ¯
x
∗
, x − ¯
xpour tout x ∈ B( ¯
x, r ).
Grâce à la convexité de g qui "globalise" les inégalités, la relation au-dessus
s’étend à tout E : ¯
x ∗ est bien dans ∂g( ¯
x).
La condition (5.16) est "orientée" vers la minimisation, et la condition
nécessaire vérifiée par un maximiseur local ¯
x serait ∂g( ¯
x) ⊂ ∂h( ¯
x). Pour
symétriser quelque peu les choses, Toland a eu l’idée d’introduire la notion
de point critique (ou stationnaire) suivante.
Définition 5.9
Un point ¯
x ∈ E est appelé point T-critique (ou T-stationnaire) de f = g − h
lorsque ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x) = ∅.
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Remarques
– Contrairement à ce qui se passe dans la dualisation de problèmes de minimisation convexe, l’existence de ¯
x ∈ E et de ¯
x ∗ ∈ E ∗ tels que f ( ¯
x) =
f ( ¯
x ∗ ) n’implique pas que ¯
x est une solution de (P) et ¯
x ∗ une solution
de (P ).
– Dans la dualisation f = g − h f = h ∗ − g ∗ , il n’y a pas de raison
de privilégier la minimisation par rapport à la maximisation ; des résultats
similaires à ceux du Théorème 5.7 s’obtiennent mutatis mutandis pour le
problème de la maximisation de f = g − h sur E.
(P) et (P ) sont des problèmes de minimisation non convexes ; donc des
minimiseurs locaux différents des minimiseurs globaux peuvent apparaître.
La condition nécessaire de minimalité du 1 er ordre ci-après, déjà observée
pour des minimiseurs globaux, est valable pour les minimiseurs locaux.
Proposition 5.8
Soit ¯
x un minimiseur local de f = g − h sur E. Alors :
∂h( ¯
x) ⊂ ∂g( ¯
x).
(5.16)
Démonstration. Pour x dans une boule B( ¯
x, r ), on a :
f (x) = g(x) − h(x) ≥ f ( ¯
x) = g( ¯
x) − h( ¯
x),
soit encore
g(x) − g( ¯
x) ≥ h(x) − h( ¯
x).
Soit ¯
x ∗ ∈ ∂h( ¯
x). De la relation de base h(x) − h( ¯
x) ≥ ≥ ¯
x ∗ , x − ¯
x et de
l’inégalité au-dessus on déduit
g(x) − g( ¯
x) ≥ ≥ ¯
x
∗
, x − ¯
xpour tout x ∈ B( ¯
x, r ).
Grâce à la convexité de g qui "globalise" les inégalités, la relation au-dessus
s’étend à tout E : ¯
x ∗ est bien dans ∂g( ¯
x).
La condition (5.16) est "orientée" vers la minimisation, et la condition
nécessaire vérifiée par un maximiseur local ¯
x serait ∂g( ¯
x) ⊂ ∂h( ¯
x). Pour
symétriser quelque peu les choses, Toland a eu l’idée d’introduire la notion
de point critique (ou stationnaire) suivante.
Définition 5.9
Un point ¯
x ∈ E est appelé point T-critique (ou T-stationnaire) de f = g − h
lorsque ∂g( ¯
x) ∩ ∂h( ¯
x) = ∅.