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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
h
∗
(x
∗
) − g
∗
(x
∗
) > r pour tout x
∗
∈ E
∗
.
Or, g ∗∗ = g et h ∗∗ = h (puisque g et h ont été supposées convexes s.c.i.
sur E). Par conséquent, pour tout x ∈ E,
h(x) = h
∗∗
(x) = sup
x ∗ ∈ E ∗
[[x, x
∗
− h
∗
(x
∗
)]
≤ sup
x ∗ ∈ E ∗
[[x, x
∗
− g
∗
(x
∗
) − r ]
≤ sup
x ∗ ∈ E ∗
[[x, x
∗
− g
∗
(x
∗
)] − r = g
∗∗
(x) − r = g(x) − r.
D’où r ≤ g(x) − h(x) pour tout x ∈ E, et donc r ≤ inf(P). Ceci entre en
contradiction avec l’hypothèse de départ.
Nous avons bien démontré l’assertion (i) : inf(P) = inf(P ).
(ii) Soit ¯
x un minimiseur (global) de f = g − h sur E. On a :
f (x) ≥ f ( ¯
x) pour tout x ∈ E,
soit encore
g(x) − g( ¯
x) ≥ h(x) − h( ¯
x) pour tout x ∈ E.
La définition même du sous-différentiel d’une fonction fait que
∂h( ¯
x) ⊂ ∂g( ¯
x).
Soit à présent ¯
x ∗ ∈ ∂h( ¯
x). On a alors :
h
∗
( ¯
x
∗
) + h( ¯
x) − − ¯
x, ¯
x
∗
= 0,
et comme ¯
x ∗ est aussi dans ∂g( ¯
x),
g
∗
( ¯
x
∗
) + g( ¯
x) − − ¯
x, ¯
x
∗
= 0.
Par conséquent,
f ( ¯
x) = g( ¯
x) − h( ¯
x) = h
∗
( ¯
x
∗
) − g
∗
( ¯
x
∗
).
Or, f ( ¯
x) = inf(P) = inf(P ) (première partie du Théorème 5.7). Donc
f
( ¯
x
∗
) = h
∗
( ¯
x
∗
) − g
∗
( ¯
x
∗
) = inf(P
)
,
ce qui exprime bien que ¯
x ∗ est un minimiseur de f sur E ∗ .