3. MODÈLE 3 : DIFF-CONVEXE
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considéré comme une faiblesse (multiplicité de décompositions d.c. de f ),
mais s’avère être un atout : tous les résultats présentés plus bas sont valables
pour toutes les décompositions d.c. de f . Imaginons par exemple que E
soit un espace de Hilbert et qu’on tienne à avoir une décomposition de la
fonction d.c. f = g − h avec des fonctions g et h qui soient strictement (et
même fortement) convexes. À partir d’une décomposition donnée on obtient
le résultat voulu en posant :
f = g − h = (g + ·
2
) − (h + ·
2
).
Théorème 5.7 (Minimisation dans (P) vs. minimisation dans (P ))
(i) On a toujours l’égalité suivante
inf(P) = inf(P
).
(5.15)
(ii) Si ¯
x est un minimiseur de f = g − h sur E, alors tout sous-gradient ¯
x ∗
de h en ¯
x est un minimiseur de f = h ∗ − g ∗ sur E ∗ .
De plus, f ( ¯
x) = f ( ¯
x ∗ ).
Démonstration. (i) Point 1 : inf(P) ≤ inf(P ).
Supposons le contraire et arrivons à une contradiction. Supposons donc qu’il
existe r ∈ R tel que inf(P) > r > inf(P ). Ainsi
g(x) − h(x) > r pour tout x ∈ E.
Soit x ∗ ∈ E ∗ . On a alors :
g
∗
(x
∗
) = sup
x∈ E
[[x
∗
, x − g(x)]
≤ sup
x∈ E
[[x
∗
, x − h(x) − r ]
≤ sup
x∈ E
[[x
∗
, x − h(x)] − r = h
∗
(x
∗
) − r.
En conséquence,
r ≤ h
∗
(x
∗
) − g
∗
(x
∗
).
Ceci étant montré pour tout x ∗ ∈ E ∗ , il s’ensuit r ≤ inf(P ), ce qui est
contradictoire avec l’assertion de départ.
Point 2 : inf(P) ≥ inf(P ).
Supposons le contraire. Il existe alors r ∈ R tel que inf(P) < r < inf(P ).
Par suite,