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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Corollaire 5.6
L’ensemble des valeurs critiques de f et l’ensemble des valeurs critiques
de ˆ
f sont les mêmes.
Démonstration. Soit α une valeur critique de f , c’est-à-dire α = f ( ¯
x) pour
un certain point critique ¯
x de f . Alors
−A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x), α = f ( ¯
x).
Or, −A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x) se traduit par
g( ¯
x) + g
∗
(−A ¯
x) = = ¯
x, −A ¯
x.
Par suite,
α = f ( ¯
x) = g( ¯
x) +
1
2
A ¯
x, ¯
x = −
1
2
A ¯
x, ¯
x − g
∗
(−A ¯
x) = ˆ
f ( ¯
x).
Comme ¯
x est aussi point critique de ˆ
f (Théorème 5.5, (i)), ce qui est au-dessus
montre bien que α est valeur critique de ˆ
f .
Réciproquement, soit β une valeur critique de ˆ
f , c’est-à-dire β = ˆ
f ( ¯
y)
pour un certain point critique ¯
y de ˆ
f . Dans la démonstration du (ii) du Théorème 5.5, on a exhibé un point critique ¯
x de f de la forme ¯
x = ¯
y + ¯
z,
avec ¯
z ∈ Ker A. On se propose de montrer que β = f ( ¯
x).
Il a été observé (cf. (5.13) que −A ¯
x = −A ¯
y ∈ ∂g( ¯
x). Cela se traduit par
g( ¯
x) + g ∗ (−A ¯
y) = = ¯
x, −A ¯
y,
g( ¯
x) + g ∗ (−A ¯
x) = = ¯
x, −A ¯
x.
(5.14)
Donc
f ( ¯
x) = g( ¯
x) +
1
2
A ¯
x, ¯
x [par d´ efinition de f ]
= g( ¯
x) +
1
2
A ¯
y, ¯
y [car ¯
x − ¯
y = ¯
z ∈ Ker A et A = A
∗
]
= −
1
2
A ¯
y, ¯
y − g
∗
(−A ¯
y) [d
apr` es (5.14)]
= ˆ
f ( ¯
y) [par d´ efinition de ˆ
f ]
= β.
Remarque : Même s’il y a coïncidence des ensembles de valeurs critiques
de f et ˆ
f , rien ne nous assure (comme dans d’autres schémas de dualisation)
que inf(P) = sup(P ◦ ).