2. MODÈLE 2 : CONVEXE + QUADRATIQUE
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Proposition 5.4
(i) Si ¯
y est un maximiseur local de ˆ
f , alors il est point critique de ˆ
f .
(ii) Si ¯
y est un minimiseur local de ˆ
f , alors g ∗ ◦−A est Gâteaux-différentiable
en ¯
y et 0 = ∇ ˆ
f ( ¯
y) = ∇(g ∗ ◦ −A)( ¯
y) + A ¯
y.
On sait que, de manière générale, −A ∂g ∗ (−Ay) ⊂ ∂(g ∗ ◦−A)(y) (car A ∗ =
A, ne l’oublions pas) et qu’il faut une certaine condition, dite de qualification,
pour que l’égalité ait lieu. Parmi la multitude des conditions de qualification
existantes, nous retenons la plus basique :
g ∗ est finie et continue en un point de Im A(= Im (−A)). (C )
Nous supposons qu’il en est ainsi dans toute la suite du paragraphe.
Bien que les problèmes (P) et (P ◦ ) soient "orientés", (P) vers la minimisation, (P ◦ ) vers la maximisation, c’est en fait leur "extrémisation" ou
"criticisation" qui compte. En effet, l’intérêt dans la construction de (P ◦ )
tient aux relations existant entre les points (et valeurs) critiques de f et ˆ
f .
Théorème 5.5
(i) Tout point critique ¯
x de f est aussi point critique de ˆ
f .
(ii) Si ¯
y est un point critique de ˆ
f , alors il existe ¯
z ∈ Ker A tel que ¯
x := ¯
y + ¯
z
soit point critique de f .
Démonstration. (i) Soit ¯
x ∈ H un point critique de f , c’est-à-dire vérifiant −A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x). Par la règle de bascule qui permet de passer de ∂g
à ∂g ∗ , il s’ensuit : ¯
x ∈ ∂g ∗ (−A ¯
x). Mais, comme cela a déjà été rappelé, on
a toujours −A ∂g ∗ (−Ax) ⊂ ∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
x). Par conséquent,
−A ¯
x ∈ ∂(g
∗
◦ −A)( ¯
x),
ce qui (cf. (5.12) assure bien que ¯
x est un point critique de ˆ
f .
Noter que dans cette partie nous n’avons pas eu besoin d’une condition de
qualification telle que (C ).
(ii) Soit ¯
y ∈ H un point critique de ˆ
f , c’est-à-dire vérifiant : −A ¯
y ∈
∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
y). Comme nous avons supposé ce qu’il fallait pour que
∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
y) = −A ∂g ∗ (−A ¯
y), on a donc −A ¯
y ∈ −A ∂g ∗ (−A ¯
y), c’est-àdire qu’il existe ¯
x ∈ ∂g ∗ (−A ¯
y) tel que −A ¯
y = −A ¯
x. En posant ¯
z := ¯
x − ¯
y,
on a :
A¯ z = A ¯
x − A ¯
y = 0, soit ¯
z ∈ Ker A;
−A ¯
x = −A ¯
y ∈ ∂g( ¯
x).
(5.13)
On a bien démontré que ¯
x est un point critique de f .
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Proposition 5.4
(i) Si ¯
y est un maximiseur local de ˆ
f , alors il est point critique de ˆ
f .
(ii) Si ¯
y est un minimiseur local de ˆ
f , alors g ∗ ◦−A est Gâteaux-différentiable
en ¯
y et 0 = ∇ ˆ
f ( ¯
y) = ∇(g ∗ ◦ −A)( ¯
y) + A ¯
y.
On sait que, de manière générale, −A ∂g ∗ (−Ay) ⊂ ∂(g ∗ ◦−A)(y) (car A ∗ =
A, ne l’oublions pas) et qu’il faut une certaine condition, dite de qualification,
pour que l’égalité ait lieu. Parmi la multitude des conditions de qualification
existantes, nous retenons la plus basique :
g ∗ est finie et continue en un point de Im A(= Im (−A)). (C )
Nous supposons qu’il en est ainsi dans toute la suite du paragraphe.
Bien que les problèmes (P) et (P ◦ ) soient "orientés", (P) vers la minimisation, (P ◦ ) vers la maximisation, c’est en fait leur "extrémisation" ou
"criticisation" qui compte. En effet, l’intérêt dans la construction de (P ◦ )
tient aux relations existant entre les points (et valeurs) critiques de f et ˆ
f .
Théorème 5.5
(i) Tout point critique ¯
x de f est aussi point critique de ˆ
f .
(ii) Si ¯
y est un point critique de ˆ
f , alors il existe ¯
z ∈ Ker A tel que ¯
x := ¯
y + ¯
z
soit point critique de f .
Démonstration. (i) Soit ¯
x ∈ H un point critique de f , c’est-à-dire vérifiant −A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x). Par la règle de bascule qui permet de passer de ∂g
à ∂g ∗ , il s’ensuit : ¯
x ∈ ∂g ∗ (−A ¯
x). Mais, comme cela a déjà été rappelé, on
a toujours −A ∂g ∗ (−Ax) ⊂ ∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
x). Par conséquent,
−A ¯
x ∈ ∂(g
∗
◦ −A)( ¯
x),
ce qui (cf. (5.12) assure bien que ¯
x est un point critique de ˆ
f .
Noter que dans cette partie nous n’avons pas eu besoin d’une condition de
qualification telle que (C ).
(ii) Soit ¯
y ∈ H un point critique de ˆ
f , c’est-à-dire vérifiant : −A ¯
y ∈
∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
y). Comme nous avons supposé ce qu’il fallait pour que
∂(g ∗ ◦ −A)( ¯
y) = −A ∂g ∗ (−A ¯
y), on a donc −A ¯
y ∈ −A ∂g ∗ (−A ¯
y), c’est-àdire qu’il existe ¯
x ∈ ∂g ∗ (−A ¯
y) tel que −A ¯
y = −A ¯
x. En posant ¯
z := ¯
x − ¯
y,
on a :
A¯ z = A ¯
x − A ¯
y = 0, soit ¯
z ∈ Ker A;
−A ¯
x = −A ¯
y ∈ ∂g( ¯
x).
(5.13)
On a bien démontré que ¯
x est un point critique de f .