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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
pour t > 0 assez petit.
Par suite,
g( ¯
x + t d) − g( ¯
x)
t
+
1
2
t A ¯
x, d + +A ¯
x, d ≥ 0
(5.11)
pour t > 0 assez petit. En passant à la limite t → 0 au-dessus, on obtient :
−A ¯
x, d ≤ g
( ¯
x, d).
Cette inégalité étant vraie pour tout d ∈ H , on a bien que −A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x).
(ii) Dans le cas où ¯
x est un maximiseur local de f = g + q, l’inégalité (5.11)
est inversée, ce qui conduit à
g
( ¯
x, d) ≤ ≤−A ¯
x, d.
La fonction convexe positivement homogène g ( ¯
x, ·) est majorée sur H par la
forme linéaire continue −A ¯
x, ·· et coïncide avec elle en 0. La conséquence
(raisonnement déjà vu) en est que g ( ¯
x, ·) = =−A ¯
x, ··. Ainsi, g est Gâteauxdifférentiable en ¯
x et ∇g( ¯
x) = −A ¯
x.
Lorsque ¯
x est un point critique de f , la valeur f ( ¯
x) est appelée valeur critique
de f .
En l’absence de convexité de f = g + q, de 0-coercivité de f , l’objectif de
l’existence d’un minimiseur (et donc d’un point critique) de f peut s’avérer
hors d’atteinte. D’où l’idée qu’ont eue les auteurs cités plus haut de proposer
un problème "dual" ou "adjoint" ad hoc. Le voici :
(P
◦
)
Maximiser ˆ
f (y) := −
1
2 Ay, y − g ∗ (−Ay)
y ∈ H.
(P ◦ ) est à son tour un problème non convexe, avec toujours l’intervention de
la forme quadratique −q, mais aussi de la transformée de Legendre-Fenchel
de g. Ainsi, des propriétés (utiles à la minimisation) qui n’apparaissent pas
dans g pourront-elles être éventuellement présentes dans g ∗ .
De manière aussi naturelle que pour la Définition 5.2, ¯
y ∈ H sera dit point
critique de ˆ
f lorsque
− A ¯
y ∈ ∂(g
∗
◦ −A)( ¯
y).
(5.12)
Ici, g ∗ ◦ −A signifie la fonction composée y → g ∗ (−Ay).
Le pendant de la Proposition 5.3 pour ˆ
f est :
CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
pour t > 0 assez petit.
Par suite,
g( ¯
x + t d) − g( ¯
x)
t
+
1
2
t A ¯
x, d + +A ¯
x, d ≥ 0
(5.11)
pour t > 0 assez petit. En passant à la limite t → 0 au-dessus, on obtient :
−A ¯
x, d ≤ g
( ¯
x, d).
Cette inégalité étant vraie pour tout d ∈ H , on a bien que −A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x).
(ii) Dans le cas où ¯
x est un maximiseur local de f = g + q, l’inégalité (5.11)
est inversée, ce qui conduit à
g
( ¯
x, d) ≤ ≤−A ¯
x, d.
La fonction convexe positivement homogène g ( ¯
x, ·) est majorée sur H par la
forme linéaire continue −A ¯
x, ·· et coïncide avec elle en 0. La conséquence
(raisonnement déjà vu) en est que g ( ¯
x, ·) = =−A ¯
x, ··. Ainsi, g est Gâteauxdifférentiable en ¯
x et ∇g( ¯
x) = −A ¯
x.
Lorsque ¯
x est un point critique de f , la valeur f ( ¯
x) est appelée valeur critique
de f .
En l’absence de convexité de f = g + q, de 0-coercivité de f , l’objectif de
l’existence d’un minimiseur (et donc d’un point critique) de f peut s’avérer
hors d’atteinte. D’où l’idée qu’ont eue les auteurs cités plus haut de proposer
un problème "dual" ou "adjoint" ad hoc. Le voici :
(P
◦
)
Maximiser ˆ
f (y) := −
1
2 Ay, y − g ∗ (−Ay)
y ∈ H.
(P ◦ ) est à son tour un problème non convexe, avec toujours l’intervention de
la forme quadratique −q, mais aussi de la transformée de Legendre-Fenchel
de g. Ainsi, des propriétés (utiles à la minimisation) qui n’apparaissent pas
dans g pourront-elles être éventuellement présentes dans g ∗ .
De manière aussi naturelle que pour la Définition 5.2, ¯
y ∈ H sera dit point
critique de ˆ
f lorsque
− A ¯
y ∈ ∂(g
∗
◦ −A)( ¯
y).
(5.12)
Ici, g ∗ ◦ −A signifie la fonction composée y → g ∗ (−Ay).
Le pendant de la Proposition 5.3 pour ˆ
f est :