2. MODÈLE 2 : CONVEXE + QUADRATIQUE
125
2 Modèle 2 : convexe + quadratique
Le problème d’optimisation non convexe considéré ici est de la forme
suivante :
(P)
Minimiser f (x) := g(x) +
1
2 Ax, x
x ∈ H,
où g : H → R ∪ {+∞} est une fonction convexe s.c.i. propre sur l’espacce
de Hilbert H , A : H → H est un opérateur linéaire continu autoadjoint
(i.e., A ∗ = A). Un modèle plus général voudrait que A ne soit défini que
sur un sous-espace vectoriel D(A), de graphe fermé, ou que l’espace de
travail soit un espace de Banach réflexif. Nous n’entrerons pas dans ces
considérations, nous contentant d’exposer les idées et résultats de base. La
manière de "dualiser" le problème structuré (P) qui va être décrite est due
aux travaux pionniers de Clarke, Ekeland, Lasry (cf. Références).
Comme la forme quadratique continue q : x ∈ H → q(x) :=
1
2 Ax, x
n’est pas supposée positive, elle n’est pas convexe ; toute la non-convexité de
la fonction-objectif f de (P) se trouve concentrée sur q.
Que devrait-être la définition d’un point critique (ou stationnaire) de f ?
Même si on n’a aucune idée de ce que pourrait être un "sous-différentiel
généralisé" de f = g + q, sachant qu’on dispose de l’outil "sous-différentiel
de la fonction convexe g" et du gradient ∇q(x) = Ax, il est naturel de penser
à la définition suivante.
Définition 5.2 On dit que ¯
x ∈ H est un point critique (ou stationnaire) de f
si 0 ∈ ∂g( ¯
x) + A ¯
x, c’est-à-dire si
− A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x).
(5.10)
Outre la justification présentée plus haut, le résultat facile ci-dessous conforte
dans l’idée que la Définition 5.2 est cohérente.
Proposition 5.3
(i) Si ¯
x est un minimiseur local de f , alors il est point critique de f .
(ii) Si ¯
x est un maximiseur local de f , alors g est Gâteaux-différentiable en ¯
x
et 0 = ∇ f ( ¯
x) = ∇g( ¯
x) + A ¯
x ( ¯
x est alors un point critique au sens usuel,
pour les fonctions différentiables).
Démonstration. (i) Considérons d ∈ H et t > 0. Puisque ¯
x est un minimiseur
local de f = g + q,
g( ¯
x + t d) +
1
2
A( ¯
x + t d), ¯
x + t d − g( ¯
x) −
1
2
A ¯
x, ¯
x ≥ 0
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2 Modèle 2 : convexe + quadratique
Le problème d’optimisation non convexe considéré ici est de la forme
suivante :
(P)
Minimiser f (x) := g(x) +
1
2 Ax, x
x ∈ H,
où g : H → R ∪ {+∞} est une fonction convexe s.c.i. propre sur l’espacce
de Hilbert H , A : H → H est un opérateur linéaire continu autoadjoint
(i.e., A ∗ = A). Un modèle plus général voudrait que A ne soit défini que
sur un sous-espace vectoriel D(A), de graphe fermé, ou que l’espace de
travail soit un espace de Banach réflexif. Nous n’entrerons pas dans ces
considérations, nous contentant d’exposer les idées et résultats de base. La
manière de "dualiser" le problème structuré (P) qui va être décrite est due
aux travaux pionniers de Clarke, Ekeland, Lasry (cf. Références).
Comme la forme quadratique continue q : x ∈ H → q(x) :=
1
2 Ax, x
n’est pas supposée positive, elle n’est pas convexe ; toute la non-convexité de
la fonction-objectif f de (P) se trouve concentrée sur q.
Que devrait-être la définition d’un point critique (ou stationnaire) de f ?
Même si on n’a aucune idée de ce que pourrait être un "sous-différentiel
généralisé" de f = g + q, sachant qu’on dispose de l’outil "sous-différentiel
de la fonction convexe g" et du gradient ∇q(x) = Ax, il est naturel de penser
à la définition suivante.
Définition 5.2 On dit que ¯
x ∈ H est un point critique (ou stationnaire) de f
si 0 ∈ ∂g( ¯
x) + A ¯
x, c’est-à-dire si
− A ¯
x ∈ ∂g( ¯
x).
(5.10)
Outre la justification présentée plus haut, le résultat facile ci-dessous conforte
dans l’idée que la Définition 5.2 est cohérente.
Proposition 5.3
(i) Si ¯
x est un minimiseur local de f , alors il est point critique de f .
(ii) Si ¯
x est un maximiseur local de f , alors g est Gâteaux-différentiable en ¯
x
et 0 = ∇ f ( ¯
x) = ∇g( ¯
x) + A ¯
x ( ¯
x est alors un point critique au sens usuel,
pour les fonctions différentiables).
Démonstration. (i) Considérons d ∈ H et t > 0. Puisque ¯
x est un minimiseur
local de f = g + q,
g( ¯
x + t d) +
1
2
A( ¯
x + t d), ¯
x + t d − g( ¯
x) −
1
2
A ¯
x, ¯
x ≥ 0