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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Il existe α > 0 et r ∈ R tels que
f (x) ≥ α x − r pour toutx ∈ E.
Alors :
argmin (co f ) =
ε> 0
co (ε − argmin f ).
(5.8)
Les difficultés apparaissant dans la convexification fermée (ou relaxation)
d’une fonction-objectif dans un contexte de dimension infinie sont illustrées
dans l’exemple suivant, un grand classique du domaine.
En Calcul variationnel, sous des hypothèses de travail sur lesquelles nous ne
nous appesantissons pas, la forme relaxée (c’est-à-dire convexifiée fermée)
d’une fonction comme u ∈ E → f (u) :=
[a,b] l(t, u(t), u (t)) dt se trouve
être
[a,b] (co l)(t, u(t), u (t)) dt, où la convexification sous le signe intégrale
se fait par rapport à la variable de vitesse, c’est-à-dire qu’on convexifie la
fonction partielle l(t, u, ·). Pour être plus précis, prenons pour E l’espace de
Sobolev H 1 (0, 1) structuré en espace de Hilbert grâce au produit scalaire
(u|v) :=
[0,1]
u(t)v(t) + u
(t)v
(t)
dt.
On considère alors la fonction
u ∈ E → f (u) :=
[0,1]
|(u
(t))
2
− 1| + u(t)
2
dt.
(5.9)
Cette fonction f est continue et 1-coercive sur E (i.e.,
f (u)
u → +∞ quand
u → +∞). Sa version relaxée co f se trouve être :
u ∈ E → (co f )(u) =
[0,1]
(u
(t))
2
− 1
+ + u(t)
2
dt.
En considérant des fonctions u n "en dents de scie"
on voit qu’en l’expression (5.9) de f (u n ), on élimine le terme (u
n (t)) 2 − 1,
tandis que le terme u n (t) 2 peut être rendu aussi petit que voulu. En clair,
inf
E
f = 0. Mais pour autant il ne peut y avoir de ¯
u ∈ E tel que f ( ¯
u) = 0.
Quant à la version relaxée co f de f , elle n’a qu’un seul minimiseur, ¯
u ≡ 0.