1. MODÈLE 1 : LA RELAXATION CONVEXE
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R 2 → R qui sont C ∞ sur R 2 mais pour lesquelles co f n’est pas partout
différentiable sur R 2 . Une condition suffisante pour qu’il en soit ainsi est,
par exemple, que dom f ∗ ne soit pas d’intérieur vide (voir [BHU] si l’on
veut en savoir plus dans cette direction).
– Propriété de comportement à l’infini. La propriété suivante est tirée de [B] :
lim inf
x→+∞
f (x) − (co f )(x)
x
= 0.
(5.6)
Attention ! En dépit de (5.6) qui tend à faire penser que "co f finit par se
comporter comme f à l’infini", l’écart entre f (x) et (co f )(x) peut devenir
de plus en plus grand. Par exemple, si f : x ∈ R → f (x) =
√
|x|, co f
se trouve être identiquement égale à 0.
– Vers le calcul numérique effectif de co f . Une bonne partie de ces techniques de calcul consiste à considérer f sur une partie bornée de R n
(sur une grille de points même) et à calculer co f en la pensant comme f ∗∗ ,
et donc à utiliser les méthodes numériques spécifiques du calcul de f ∗
à partir de f . Pour tout cela, nous renvoyons au récent article-revue de
Lucet [L].
Nous terminons cette section en évoquant comment la relation (5.2) entre
les solutions de (P) et celles de ( ˆ
P) pourrait être améliorée. Un premier
résultat dans ce sens, facile à démontrer, est le suivant :
Soit f : R n → R ∪ {+∞}, s.c.i. et bornée inférieurement sur R n . On
suppose que co f est 0-coercive sur R n (i.e., co f (x) → +∞ quand x →
+∞). Alors :
argmin (co f ) = co (argmin f ).
(5.7)
La propriété de 0-coercivité requise est bien sur co f et non sur f (penser
à nouveau à la fonction x → f (x) =
√
|x|). Les limitations du résultat
au-dessus sont les deux hypothèses restrictives : d’une part la 0-coercivité
de co f et, d’autre part et surtout, la dimension finie de l’espace de travail R n .
Dans un contexte de dimension infinie, lequel est incontournable en Analyse
et calcul variationnels, une autre piste consiste à considérer les solutions
approchées, disons à ε > 0 près, du problème (P) :
ε − argmin f :=
x ∈ E | f (x) ≤ inf
E
f + ε
.
Un exemple de résultat permettant d’obtenir les solutions de ( ˆ
P) à partir des
solutions approchées de (P), tiré de [HULV], est comme suit :
Soit f : E → R ∪ {+∞}, où E est un espace de Banach réflexif et f une
fonction satisfaisant la propriété suivante :
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R 2 → R qui sont C ∞ sur R 2 mais pour lesquelles co f n’est pas partout
différentiable sur R 2 . Une condition suffisante pour qu’il en soit ainsi est,
par exemple, que dom f ∗ ne soit pas d’intérieur vide (voir [BHU] si l’on
veut en savoir plus dans cette direction).
– Propriété de comportement à l’infini. La propriété suivante est tirée de [B] :
lim inf
x→+∞
f (x) − (co f )(x)
x
= 0.
(5.6)
Attention ! En dépit de (5.6) qui tend à faire penser que "co f finit par se
comporter comme f à l’infini", l’écart entre f (x) et (co f )(x) peut devenir
de plus en plus grand. Par exemple, si f : x ∈ R → f (x) =
√
|x|, co f
se trouve être identiquement égale à 0.
– Vers le calcul numérique effectif de co f . Une bonne partie de ces techniques de calcul consiste à considérer f sur une partie bornée de R n
(sur une grille de points même) et à calculer co f en la pensant comme f ∗∗ ,
et donc à utiliser les méthodes numériques spécifiques du calcul de f ∗
à partir de f . Pour tout cela, nous renvoyons au récent article-revue de
Lucet [L].
Nous terminons cette section en évoquant comment la relation (5.2) entre
les solutions de (P) et celles de ( ˆ
P) pourrait être améliorée. Un premier
résultat dans ce sens, facile à démontrer, est le suivant :
Soit f : R n → R ∪ {+∞}, s.c.i. et bornée inférieurement sur R n . On
suppose que co f est 0-coercive sur R n (i.e., co f (x) → +∞ quand x →
+∞). Alors :
argmin (co f ) = co (argmin f ).
(5.7)
La propriété de 0-coercivité requise est bien sur co f et non sur f (penser
à nouveau à la fonction x → f (x) =
√
|x|). Les limitations du résultat
au-dessus sont les deux hypothèses restrictives : d’une part la 0-coercivité
de co f et, d’autre part et surtout, la dimension finie de l’espace de travail R n .
Dans un contexte de dimension infinie, lequel est incontournable en Analyse
et calcul variationnels, une autre piste consiste à considérer les solutions
approchées, disons à ε > 0 près, du problème (P) :
ε − argmin f :=
x ∈ E | f (x) ≤ inf
E
f + ε
.
Un exemple de résultat permettant d’obtenir les solutions de ( ˆ
P) à partir des
solutions approchées de (P), tiré de [HULV], est comme suit :
Soit f : E → R ∪ {+∞}, où E est un espace de Banach réflexif et f une
fonction satisfaisant la propriété suivante :