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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Observations
– La condition exprimant que ¯
x est un minimiseur global de f comprend
deux parties : la condition (attendue) de point critique de f (∇ f ( ¯
x) = 0)
qui est locale (ou infinitésimale) et une condition globalisante (co f )( ¯
x) =
f ( ¯
x). Il est remarquable que la conjonction de ces deux conditions filtre
vraiment tous les minimiseurs locaux (ou points critiques) de f pour n’en
garder que les minimiseurs globaux.
– Le résultat du Théorème 5.1 peut être utilisé sous la forme "négative"
suivante : Si ¯
x est un point critique de f (i.e. si ∇ f ( ¯
x) = 0) et si l’on
constate que (co f )( ¯
x) < f ( ¯
x), alors ¯
x ne saurait être un minimiseur
global de f sur H (cf. la Figure 5.2 par exemple).
– Le Théorème 5.1 appartient bien au royaume de l’Optimisation différentiable. En effet, si on substitue la condition " ¯
x est un mimiseur local
de f " (lorsque f n’est pas différentiable en ¯
x) à la condition "∇ f ( ¯
x) =
0", l’équivalence (5.4) n’est plus vraie. Cela signifie aussi que toute
généralisation de la forme "0 ∈ ∂ g f ( ¯
x)", où ∂ g f est votre sous-différentiel
généralisé favori (cf. Chapitre 6), à la place de "∇ f ( ¯
x) = 0" ne marchera
pas non plus. Assez surprenant...
Passons en revue d’autres aspects de co f utiles pour la résolution du problème relaxé ( ˆ
P).
– Propriété de continuité. Même si f est la restriction d’une fonction C ∞
sur un convexe compact C de R n (et vaut +∞ à l’extérieur de C), la
fonction convexe co f est certes continue sur int C mais peut présenter
des discontinuités en des points frontières de C.
Fig. 5.2
– Propriété de différentiabilité. Si f : R → R est différentiable sur R, alors
il en est de même de co f (même s’il y a décollement
partout, (co f )(x) < f (x) pour tout x ∈ R). Mais ceci est spécifique
aux fonctions de la variable réelle. Il existe en effet des fonctions f :
CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Observations
– La condition exprimant que ¯
x est un minimiseur global de f comprend
deux parties : la condition (attendue) de point critique de f (∇ f ( ¯
x) = 0)
qui est locale (ou infinitésimale) et une condition globalisante (co f )( ¯
x) =
f ( ¯
x). Il est remarquable que la conjonction de ces deux conditions filtre
vraiment tous les minimiseurs locaux (ou points critiques) de f pour n’en
garder que les minimiseurs globaux.
– Le résultat du Théorème 5.1 peut être utilisé sous la forme "négative"
suivante : Si ¯
x est un point critique de f (i.e. si ∇ f ( ¯
x) = 0) et si l’on
constate que (co f )( ¯
x) < f ( ¯
x), alors ¯
x ne saurait être un minimiseur
global de f sur H (cf. la Figure 5.2 par exemple).
– Le Théorème 5.1 appartient bien au royaume de l’Optimisation différentiable. En effet, si on substitue la condition " ¯
x est un mimiseur local
de f " (lorsque f n’est pas différentiable en ¯
x) à la condition "∇ f ( ¯
x) =
0", l’équivalence (5.4) n’est plus vraie. Cela signifie aussi que toute
généralisation de la forme "0 ∈ ∂ g f ( ¯
x)", où ∂ g f est votre sous-différentiel
généralisé favori (cf. Chapitre 6), à la place de "∇ f ( ¯
x) = 0" ne marchera
pas non plus. Assez surprenant...
Passons en revue d’autres aspects de co f utiles pour la résolution du problème relaxé ( ˆ
P).
– Propriété de continuité. Même si f est la restriction d’une fonction C ∞
sur un convexe compact C de R n (et vaut +∞ à l’extérieur de C), la
fonction convexe co f est certes continue sur int C mais peut présenter
des discontinuités en des points frontières de C.
Fig. 5.2
– Propriété de différentiabilité. Si f : R → R est différentiable sur R, alors
il en est de même de co f (même s’il y a décollement
partout, (co f )(x) < f (x) pour tout x ∈ R). Mais ceci est spécifique
aux fonctions de la variable réelle. Il existe en effet des fonctions f :