1. MODÈLE 1 : LA RELAXATION CONVEXE
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nous proposons une démonstration directe de l’équivalence (5.4).
[⇒] Si ¯
x est un minimiseur global de f sur H , alors f ( ¯
x) = (co f ) ( ¯
x)
(il suffit de revoir (5.1) pour cela) et c’est évidemment un point critique
de f : ∇ f ( ¯
x) = 0.
[⇐] Soit ¯
x un point de Gâteaux-différentiabilité de f en lequel ∇ f ( ¯
x) = 0
et (co f ) ( ¯
x) = f ( ¯
x). Nous utiliserons les arguments suivants : co f ≤ f
sur H ; co f est une fonction convexe s.c.i. sur H ; ∇g( ¯
x) = 0 est une
condition (nécessaire et) suffisante de minimalité globale pour une fonction
convexe g (Gâteaux-différentiable en ¯
x). Allons-y :
∀ d ∈ H,
f ( ¯
x + td) − f ( ¯
x)
t
→ →∇ f ( ¯
x), dquand t → 0
+
de par la Gˆ ateaux-diff´ erentiabilit´ e de f en ¯
x
;
∀ d ∈ H,
(co f ) ( ¯
x + td) − (co f ) ( ¯
x)
t
→ (co f )
( ¯
x, d) quand t → 0
+
de par l’existence de la d´ eriv´ ee directionnelle de co f en ¯
x
;
∀d ∈ H,
(co f ) ( ¯
x + td) − (co f ) ( ¯
x)
t
≤
f ( ¯
x + t d) − f ( ¯
x)
t
puisque co f ≤ f sur H et (co f ) ( ¯
x) = f ( ¯
x)
.
En conséquence,
∀ d ∈ H, (co f )
( ¯
x, d) ≤ ≤∇ f ( ¯
x), d.
(5.5)
La fonction (co f ) ( ¯
x, ·) est convexe et positivement homogène ; elle est
majorée par la forme linéaire continue ∇ f ( ¯
x), ··, et coïncide avec elle
en d = 0. La seule possibilité pour qu’il en soit ainsi est que (co f ) ( ¯
x, ·) =
∇ f ( ¯
x), ·· (on est d’accord ?), c’est-à-dire que co f est Gâteaux-différentiable
en ¯
x et :
∇(co f )( ¯
x) = ∇ f ( ¯
x) = 0.
Ainsi, ¯
x est un minimiseur de co f sur H . Par suite,
∀ x ∈ H, (co f )( ¯
x) ≤ (co f )(x) ≤ f (x), o` u (co f )( ¯
x) = f ( ¯
x).
On a bien démontré que ¯
x est un minimiseur global de f sur H .