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CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
les valeurs optimales et les minimiseurs.
• Les valeurs optimales. Nous avons :
inf
E
f = inf
E
(co f )
´
egalit´ e dans R ∪ {+∞}
.
(5.1)
Cela est simplement dû au fait que inf
E
f = − f ∗ (0) et que (co f )
∗
= f ∗ .
• Les solutions (ou minimiseurs globaux). En notant argmin g l’ensemble
des x ∈ E minimisant g sur E (il est possible que ce soit un ensemble vide),
on démontre facilement que
co (argmin f ) ⊂ argmin (co f ) .
(5.2)
Ceci est en fait un résultat assez faible... surtout si argmin f = ∅. Nous
reviendrons sur ce point un peu plus bas, par l’intermédiaire des ε-solutions
de (P).
En jouant avec la relation f ∗ = (co f )
∗ et la règle de va-et-vient suivante
pour g convexe s.c.i. : x ∈ ∂g ∗ (x ∗ ) si et seulement si x ∗ ∈ ∂g(x), nous
obtenons :
¯
x minimise f sur E
⇔
f ( ¯
x) = (co f ) ( ¯
x) et ¯
x ∈ ∂ f
∗
(0)
, (5.3)
une assertion pas toujours très informative. Il y a toutefois une situation où
la règle de coïncidence f ( ¯
x) = (co f ) ( ¯
x), complétée par une autre propriété, peut servir à distinguer les minimiseurs globaux de f sur E des points
critiques ou stationnaires de f . Nous présentons cette manière de faire dans
un contexte un peu simplifié, celui où E est un espace de Hilbert. Nous désignons par ∇ f (x) le gradient de f en x lorsque f est Gâteaux-différentiable
en x.
Théorème 5.1 Soit f : H → R∪{+∞} définie sur un espace de Hilbert H .
On suppose que f est différentiable en ¯
x. Alors :
¯
x est un minimiseur global de f sur H
⇔
∇ f ( ¯
x) = 0 et
f ( ¯
x) = (co f ) ( ¯
x)
. (5.4)
Démonstration. Elle est aisée à partir de (5.3) et de l’observation suivante :
si f est Gâteaux-différentiable en ¯
x, alors soit ∂ f ( ¯
x) est vide soit ∂ f ( ¯
x) =
{∇ f ( ¯
x)}. En un point critique ¯
x de f , on est précisément dans ce dernier
cas, ∂ f ( ¯
x) = {0}, d’où ¯
x ∈ ∂ f ∗ (0).
Toutefois, pour le cas où ces subtilités ne sont pas connues du lecteur-étudiant,