1. MODÈLE 1 : LA RELAXATION CONVEXE
119
ici, nous nous en tiendrons essentiellement à co f .
Attention (dans la construction interne) : co f n’est pas forcément un épigraphe... c’est sa fermeture qui en est toujours un.
Fig. 5.1
Le troisième exemple dans la Figure 5.1 montre qu’on peut avoir (co f ) (x) <
f (x) pour tout x ∈ E. Historiquement, on peut penser que J.W. Gibbs (18391903) fut le premier "convexifieur de fonctions" (des énergies en Thermodynamique dans son cas) ; Gibbs était physicien, chimiste, mathématicien... un
"phénomène" quoi.
L’opération de convexification fermée (ou convexification s.c.i.) f co f
est un opération globale, dans le sens qu’elle requiert – a priori – la connaissance de f sur tout E. En particulier, le comportement de f "à l’infini", i.e.
de f (x) quand x → +∞, est de la première importance ; ceci est une des
sources de difficultés dans la connaissance de co f .
1.2 La "relaxation convexe fermée" d’un problème
d’optimisation (P)
Le problème d’optimisation général de départ est :
(P)
Minimser f (x)
x ∈ E.
La version dite relaxée de (P) est ici 1 :
( ˆ
P)
Minimser (co f ) (x)
x ∈ E.
Qu’a-t-on gagné, qu’a-t-on perdu en passant de (P) à ( ˆ
P) ? ... mis à part
le fait que ( ˆ
P) est un problème de minimisation convexe. Commençons par
1 "Relaxation" signifie beaucoup de choses (différentes) en mathématiques... il va sans dire
ici que c’est de la convexification fermée (ou s.c.i.) de la fonction-objectif de (P) qu’il s’agit.
119
ici, nous nous en tiendrons essentiellement à co f .
Attention (dans la construction interne) : co f n’est pas forcément un épigraphe... c’est sa fermeture qui en est toujours un.
Fig. 5.1
Le troisième exemple dans la Figure 5.1 montre qu’on peut avoir (co f ) (x) <
f (x) pour tout x ∈ E. Historiquement, on peut penser que J.W. Gibbs (18391903) fut le premier "convexifieur de fonctions" (des énergies en Thermodynamique dans son cas) ; Gibbs était physicien, chimiste, mathématicien... un
"phénomène" quoi.
L’opération de convexification fermée (ou convexification s.c.i.) f co f
est un opération globale, dans le sens qu’elle requiert – a priori – la connaissance de f sur tout E. En particulier, le comportement de f "à l’infini", i.e.
de f (x) quand x → +∞, est de la première importance ; ceci est une des
sources de difficultés dans la connaissance de co f .
1.2 La "relaxation convexe fermée" d’un problème
d’optimisation (P)
Le problème d’optimisation général de départ est :
(P)
Minimser f (x)
x ∈ E.
La version dite relaxée de (P) est ici 1 :
( ˆ
P)
Minimser (co f ) (x)
x ∈ E.
Qu’a-t-on gagné, qu’a-t-on perdu en passant de (P) à ( ˆ
P) ? ... mis à part
le fait que ( ˆ
P) est un problème de minimisation convexe. Commençons par
1 "Relaxation" signifie beaucoup de choses (différentes) en mathématiques... il va sans dire
ici que c’est de la convexification fermée (ou s.c.i.) de la fonction-objectif de (P) qu’il s’agit.