118
CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Si l’on s’en tient à un problème (P) général, la construction d’un problème
dual (D) peut répondre partiellement à ces questions, mais si l’on veut que
les schémas de dualisation "fonctionnent" vraiment, il faut que (P) ait au
départ une certaine structure et que la dualisation soit adaptée à cette structure.
Nous verrons cela dans au moins deux situations : le modèle "différence de
fonctions convexes" et le modèle "convexe + quadratique". Mais avant cela,
nous commençons par la forme la plus brutale pour s’attaquer à (P) : sa
convexification pure et simple.
1 Modèle 1 : la relaxation convexe
Le contexte de travail ici est le suivant :
E est un espace de Banach ; f : E → R ∪ {+∞} est propre (c’est-à-dire
non identiquement égale à +∞), et bornée inférieurement par une fonction
affine continue.
L’espace dual E ∗ est muni d’une topologie telle que le couplage (E, E ∗ ) est
bien en place pour faire opérer la transformation de Legendre-Fenchel. En
particulier, la biconjuguée f ∗∗ (= ( f ∗ ) ∗ ) opérera sur E (et non sur E ∗∗ ).
1.1 L’opération de "convexification fermée" d’une fonction
L’opération qui consiste à passer de f à ce qui s’appelle son enveloppe
convexe fermée co f : E → R ∪ {+∞} est bien compliquée mais en même
temps fascinante. Il y a au moins deux moyens de construire co f :
• La "construction interne" : considérer toutes les combinaisons convexes
d’éléments de epi f , de sorte que co (epi f ) est construit, et ensuite fermer co (epi f ) ; l’ensemble co (epi f ) se trouve être l’épigraphe d’une fonction, c’est précisément celle que nous dénommons co f .
• La "construction externe" : considérer toutes les fonctions affines continues a f qui minorent f et prendre leur supremum ; alors co f = sup a f .
Le fait que nous obtenions exactement la même fonction, via la construction
interne ou par le biais de la construction externe, est un des résultats-clés de
l’Analyse convexe.
En termes de transformation de Legendre-Fenchel f f ∗ , avec les hypothèses faites dans notre contexte de travail, nous avons f ∗∗ = co f . C’est
donc indifféremment que les notations co f et f ∗∗ seront utilisées, même si,
CHAPITRE 5 DUALISATION, CAS NON CONVEXES
Si l’on s’en tient à un problème (P) général, la construction d’un problème
dual (D) peut répondre partiellement à ces questions, mais si l’on veut que
les schémas de dualisation "fonctionnent" vraiment, il faut que (P) ait au
départ une certaine structure et que la dualisation soit adaptée à cette structure.
Nous verrons cela dans au moins deux situations : le modèle "différence de
fonctions convexes" et le modèle "convexe + quadratique". Mais avant cela,
nous commençons par la forme la plus brutale pour s’attaquer à (P) : sa
convexification pure et simple.
1 Modèle 1 : la relaxation convexe
Le contexte de travail ici est le suivant :
E est un espace de Banach ; f : E → R ∪ {+∞} est propre (c’est-à-dire
non identiquement égale à +∞), et bornée inférieurement par une fonction
affine continue.
L’espace dual E ∗ est muni d’une topologie telle que le couplage (E, E ∗ ) est
bien en place pour faire opérer la transformation de Legendre-Fenchel. En
particulier, la biconjuguée f ∗∗ (= ( f ∗ ) ∗ ) opérera sur E (et non sur E ∗∗ ).
1.1 L’opération de "convexification fermée" d’une fonction
L’opération qui consiste à passer de f à ce qui s’appelle son enveloppe
convexe fermée co f : E → R ∪ {+∞} est bien compliquée mais en même
temps fascinante. Il y a au moins deux moyens de construire co f :
• La "construction interne" : considérer toutes les combinaisons convexes
d’éléments de epi f , de sorte que co (epi f ) est construit, et ensuite fermer co (epi f ) ; l’ensemble co (epi f ) se trouve être l’épigraphe d’une fonction, c’est précisément celle que nous dénommons co f .
• La "construction externe" : considérer toutes les fonctions affines continues a f qui minorent f et prendre leur supremum ; alors co f = sup a f .
Le fait que nous obtenions exactement la même fonction, via la construction
interne ou par le biais de la construction externe, est un des résultats-clés de
l’Analyse convexe.
En termes de transformation de Legendre-Fenchel f f ∗ , avec les hypothèses faites dans notre contexte de travail, nous avons f ∗∗ = co f . C’est
donc indifféremment que les notations co f et f ∗∗ seront utilisées, même si,