3. MODÈLE 3 : DIFF-CONVEXE
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3 Modèle 3 : diff-convexe
Le problème d’optimisation considéré ici est structuré comme suit :
(P)
Minimiser f (x) := g(x) − h(x)
x ∈ E,
où g et h sont des fonctions convexes s.c.i. propres sur un espace de Banach
E. Dans les exemples, h (la deuxième fonction) est partout finie et continue sur E. Si ça n’est pas le cas, comme nous minimisons dans (P), nous
donnons la priorité à +∞, c’est-à-dire que nous adoptons la règle de calcul
(+∞) − (+∞) = +∞ pour le cas où cela se produirait. Un modèle un peu
plus général serait
Minimiser f (x) := g(x) − h(Ax)
x ∈ E,
où A : E → F est linéaire continu et h est une fonction convexe s.c.i. propre
sur l’espace de Banach F. Le lecteur-étudiant n’aura pas de peine à adapter
à ce contexte les résultats que nous nous contenterons de présenter pour le
modèle posé (c’est-à-dire avec A = id E ).
L’appellation "modèle ou optimisation diff-convexe (ou d.c.)" est claire : la
fonction-objectif dans (P) est une différence de fonctions convexes. Avant
d’aller plus loin, voyons sur quelques propriétés et exemples la richesse de
DC(E) := ensemble des fonctions qui s
´
ecrivent comme des diff ´
erences
de fonctions convexes sur E.
Exemple : C 2 (R n ) ⊂ DC(R n ). Toute fonction C 2 sur R n est différence de
fonctions convexes sur R n , et même mieux : si f ∈ C 2 (R n ), il existe g C 2
et convexe sur R n , h C ∞ et convexe sur R n , telles que f = g − h. C’est
notamment le cas de toute fonction polynomiale f sur R n . Mais on n’a pas
dit que trouver une décomposition d.c. de f ∈ C 2 (R n ) était facile !
Le cas où E est de dimension infinie est un peu plus compliqué : il
faut ajouter une hypothèse sur le comportement de D 2 f pour s’assurer
que C 2 (E) ⊂ DC(E).
Exemple (repris du Chapitre 2, § 2.2) : Soit S une partie fermée non vide
d’un espace de Hilbert H . Alors, la fonction d 2
S (carré de la fonction distance
à S) est toujours d.c. sur H ; on en a même une décomposition d.c. explicite.
Exemple : E = S n (R) et λ k : A ∈ S n (R) → λ k (A) := la k-ème plus
grande valeur propre de A. Alors λ k ∈ DC(E), positivement homogène, et
on a accès à une décomposition d.c. de λ k en fonctions convexes positivement
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3 Modèle 3 : diff-convexe
Le problème d’optimisation considéré ici est structuré comme suit :
(P)
Minimiser f (x) := g(x) − h(x)
x ∈ E,
où g et h sont des fonctions convexes s.c.i. propres sur un espace de Banach
E. Dans les exemples, h (la deuxième fonction) est partout finie et continue sur E. Si ça n’est pas le cas, comme nous minimisons dans (P), nous
donnons la priorité à +∞, c’est-à-dire que nous adoptons la règle de calcul
(+∞) − (+∞) = +∞ pour le cas où cela se produirait. Un modèle un peu
plus général serait
Minimiser f (x) := g(x) − h(Ax)
x ∈ E,
où A : E → F est linéaire continu et h est une fonction convexe s.c.i. propre
sur l’espace de Banach F. Le lecteur-étudiant n’aura pas de peine à adapter
à ce contexte les résultats que nous nous contenterons de présenter pour le
modèle posé (c’est-à-dire avec A = id E ).
L’appellation "modèle ou optimisation diff-convexe (ou d.c.)" est claire : la
fonction-objectif dans (P) est une différence de fonctions convexes. Avant
d’aller plus loin, voyons sur quelques propriétés et exemples la richesse de
DC(E) := ensemble des fonctions qui s
´
ecrivent comme des diff ´
erences
de fonctions convexes sur E.
Exemple : C 2 (R n ) ⊂ DC(R n ). Toute fonction C 2 sur R n est différence de
fonctions convexes sur R n , et même mieux : si f ∈ C 2 (R n ), il existe g C 2
et convexe sur R n , h C ∞ et convexe sur R n , telles que f = g − h. C’est
notamment le cas de toute fonction polynomiale f sur R n . Mais on n’a pas
dit que trouver une décomposition d.c. de f ∈ C 2 (R n ) était facile !
Le cas où E est de dimension infinie est un peu plus compliqué : il
faut ajouter une hypothèse sur le comportement de D 2 f pour s’assurer
que C 2 (E) ⊂ DC(E).
Exemple (repris du Chapitre 2, § 2.2) : Soit S une partie fermée non vide
d’un espace de Hilbert H . Alors, la fonction d 2
S (carré de la fonction distance
à S) est toujours d.c. sur H ; on en a même une décomposition d.c. explicite.
Exemple : E = S n (R) et λ k : A ∈ S n (R) → λ k (A) := la k-ème plus
grande valeur propre de A. Alors λ k ∈ DC(E), positivement homogène, et
on a accès à une décomposition d.c. de λ k en fonctions convexes positivement