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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
b) On suppose que f (x) = +∞, c’est-à-dire que x /
∈ dom f . Montrer
que f r (x) → +∞ quand r → +∞.
[ Indication. On raisonnera par l’absurde en montrant que l’hypothèse sup
r >0
f r (x) < +∞ conduit à une contradiction. ]
8) Un algorithme de minimisation de f
On suppose que [ f ≤ r ] est faiblement compact pour tout r ∈ R.
a) Montrer que f est bornée inférieurement sur H et qu’il existe ¯
x ∈ H
tel que f ( ¯
x) = inf
x∈H
f (x).
On pose S :=
x ∈ H
f (x) = inf
x∈H
f (x)
.
b) Indiquer rapidement pourquoi, en plus de ne pas être vide, S est
convexe, fermé et borné.
c) On construit une suite (x n ) de H de la manière suivante :
x 0 ∈ H ;
∀ n ≥ 1, x n+1 = (I + ∂ f )
−1
(x n ),
c’est-à-dire x n+1 est l’unique point minimisant u ∈ H → f (u) +
1
2 x n − u
2 sur H .
Montrer que la suite ( f (x n )) n est décroissante.
Montrer que la suite (x n ) est bornée et que lim
n→+∞
x n+1 − x n = 0.
En déduire que f (x n ) → inf
x∈H
f (x) quand n → +∞.
Exercice 7 (Théorème de décomposition de Moreau)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert.
1) Théorème de décomposition (version directe)
Soit ϕ ∈ 0 (H ). Montrer que
ϕ
1
2
·
2
+ ϕ
∗
1
2
·
2
=
1
2
·
2
.
(4.75)
Qu’exprime ce résultat lorsque ϕ est l’indicatrice d’un cône convexe
fermé K ?
2) Théorème de décomposition (version réciproque) (Plus difficile, [HU2])
Soit g et h deux fonctions convexes sur H telles que
g + h =
1
2
·
2
.
(4.76)