EXERCICES
115
Montrer qu’il existe ϕ ∈ 0 (H ), unique à la conjugaison près (c’est-àdire, si ce n’est pas ϕ, c’est ϕ ∗ ), telle que
g = ϕ
1
2
·
2 et h = ϕ
1
2
·
2
.
(4.77)
Indications.
– Pour (4.75), on utilisera les conditions d’optimalité caractérisant la solution du problème d’optimisation définissant (ϕ
1
2 · 2 )(x), puis celui
définissant (ϕ ∗
1
2 · 2 )(x).
– Pour (4.77), on considérera ϕ, la "déconvolée de g par
1
2 · 2 ",
i.e., ϕ(x) := sup
u∈H
g(x + u) −
1
2 u 2
.
Exercice 8 (Un schéma de dualisation en optimisation convexe)
Soit E un espace de Banach, f et g sont deux fonctions de 0 (E). On suppose
qu’il existe un point en lequel f et g sont finies et f est continue.
On considère le problème de minimisation convexe suivant :
(P)
Minimiser [ f (x) + g(x)]
x ∈ E.
On désigne par α la valeur optimale dans (P) (on suppose α finie).
1) Vérifier qu’avec les hypothèses faites,
( f + g)
∗
(0) =
f
∗ g
∗
(0).
(4.78)
2) En déduire que
α = −
f
∗ g
∗
(0).
(4.79)
3) On considère le problème de maximisation concave suivant :
(D)
Maximiser
− f ∗ (s) − g ∗ (−s)
s ∈ E ∗ .
On désigne par β la valeur optimale dans (D).
Déduire de ce qui précède :
α = β.
(4.80)