EXERCICES
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f (u) − f (x r ) + r x r − x, u − x r ≥ 0 pour tout u ∈ H ; (4.72)
f (u) − f (x r ) + r u − x, u − x r ≥ 0 pour tout u ∈ H.
Qu’expriment ces conditions dans le cas (b) de la question précédente ?
(4) a) Montrer que l’application x → x r est monotone (croissante) et lipschitzienne de constante 1.
b) Montrer que l’application x → ∇ f r (x) = r (x − x r ) est lipschitzienne de constante
1
r .
c) En utilisant l’inégalité
f r (x) − f r (y) ≥ ≥∇ f r (y), x − y = r y − y r , x − y,
montrer
0 ≤ f r (y) − f r (x) − r x − x r , y − x ≤ r x − y
2
. (4.73)
En déduire que r (x − x r ) est en fait le gradient de Fréchet de f r en x.
5) a) On suppose que f est bornée inférieurement sur H . Indiquer pourquoi
il en est de même de f r .
b) Quelle est la conjuguée de la fonction u ∈ H →
r
2 u 2 ?
En déduire l’expression de la conjuguée f ∗
r de f r .
Comparer alors inf
x∈H
f (x) et inf
x∈H
f r (x).
6) a) Montrer que pour tout x ∈ H
f (x r ) ≤ f r (x) ≤ f (x).
(4.74)
b) Établir l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x minimise f sur H ;
(ii) x minimise f r sur H ;
(iii) x = x r ;
(iv) f (x) = f (x r ) ;
(v) f (x) = f r (x).
7) L’objet de cette question est l’étude du comportement de f (x r ) et x r
quand r → +∞.
a) Soit x ∈ dom f . Montrer que x r → x (convergence forte) quand r →
+∞.
En déduire que {x ∈ H | ∂ f (x) = ∅} est dense dans dom f .
En déduire aussi que f r (x) → f (x) quand r → +∞.