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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Exercice 6 (Problème : Approximation de Moreau-Yosida)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert et f : E → R ∪ {+∞} une fonction
convexe, s.c.i., finie en au moins un point. Pour tout r > 0, on considère la
fonction f r définie sur H par :
∀ x ∈ H, f r (x) := inf
u∈H
f (u) +
r
2
x − u
2
.
(4.68)
1) a) Vérifier que la fonction u ∈ H → f (u) +
r
2 x − u
2 est s.c.i. sur H
et tend vers +∞ quand u → +∞.
En déduire que l’infimum est atteint dans la défintion (4.68) de f r (x).
Montrer que cet infimum est atteint en un point unique de H , point
que l’on notera x r dans toute la suite.
b) Écrire f r sous la forme d’un inf-convolution de deux fonctions.
Vérifier que cette inf-convolution est exacte (en tout x ∈ H ).
En déduire que f r est différentiable au sens de Gâteaux en tout x ∈ H
et que :
∇ f r (x) = r (x − x r ),
(4.69)
r (x − x r ) ∈ ∂ f (x r ).
(4.70)
c) En écrivant les conditions d’optimalité pour le problème de minimisation définissant f r (x) dans (4.68), montrer que
I +
1
r
∂ f est une multiapplication surjective de H dans H ;
∀ x ∈ H,
I +
1
r
∂ f
−1
(x) = x r
(4.71)
(I désigne ici l’application identité de H dans H ).
2) Exemples. Déterminer f r (x) et x r pour tout x ∈ H dans les trois cas
suivants :
(a) f est une forme affine continue sur H , i.e.,
u ∈ H → f (u) = =x
∗
, u + α (o` u x
∗
∈ H et α ∈ R).
(b) f est l’indicatrice i C d’un convexe fermé non vide C de H .
(c) f : u ∈ H → f (u) =
1
2 Au, u, où A : H → H est un opérateur
linéaire continu auto-adjoint (A ∗ = A).
(3) Montrer que x r peut être caractérisé par l’une ou l’autre des conditions
suivantes :