EXERCICES
111
où
N ε (C, ¯
x) := { d ∈ E
∗
| |d, y − ¯
x ≤ ε pour tout y ∈ C }
(Attention ! N ε (C, ¯
x) n’est plus un cône ; c’est un "agrandissement
par viscosité" du cône normal N (C, ¯
x)).
Exercice 5 (Utilisation du principe variationnel d’Ekeland)
Soit (E, ·) un espace de Banach et f ∈ 0 (E). On désigne par ∂ ε f (x)
l’ε-sous-différentiel de f en x (cf. § 4.4).
1) a) Exprimer ∂ ε f (x) à l’aide de la transformée de Legendre-Fenchel f ∗
de f .
b) Sachant que − f (x) = − f ∗∗ (x) = inf
s∈X ∗
( f ∗ (s) − −s, x), montrer
que l’ε-sous-différentiel est non vide dès que ε > 0.
2) Soient fixés x 0 ∈ dom f , ε > 0 et s 0 ∈ ∂ ε f (x 0 ). Montrer qu’il existe x ε ∈
dom f , s ε ∈ ∂ f (x ε ) (du coup non vide) tels que :
(i) x ε − x 0 ≤
√ ε ;
(ii) s ε − s 0 ∗ ≤
√
ε.
Méthodologie préconisée :
– Appliquer le principe variationnel d’Ekeland à la fonction g(x) :=
f (x) − −s 0 , x avec des seuils appropriés (justifier l’applicabilité de ce
principe dans le contexte présenté).
– Appliquer ensuite la règle de calcul du sous-différentiel de la somme
de fonctions convexes à une somme ad hoc (justifier l’applicabilité de
cette règle).
3) Déduire de ce qui précède le résultat d’approximation-densité suivant :
Pour tout x ∈ dom f , il existe une suite (x n ) de dom f telle que
∂ f (x n ) = ∅ pour tout n,
x n → x quand n → +∞.
(4.67)
On aura ainsi démontré que {x ∈ X | ∂ f (x) = ∅} est dense dans dom f .
4) Application à un théorème d’existence.
On prend (pour simplifier) X = R n . On suppose que f est bornée
inférieurement sur R n et que R(∂ f ) =
x∈R n
∂ f (x) est un fermé (de R n ).
Montrer qu’il existe alors des points ¯
x minimisant f sur R n .
Hint. Appliquer à f ∗ le résultat de densité précédemment démontré,
après avoir observé que R(∂ f ) = {s ∈ R n | ∂ f ∗ (s) = ∅}.
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où
N ε (C, ¯
x) := { d ∈ E
∗
| |d, y − ¯
x ≤ ε pour tout y ∈ C }
(Attention ! N ε (C, ¯
x) n’est plus un cône ; c’est un "agrandissement
par viscosité" du cône normal N (C, ¯
x)).
Exercice 5 (Utilisation du principe variationnel d’Ekeland)
Soit (E, ·) un espace de Banach et f ∈ 0 (E). On désigne par ∂ ε f (x)
l’ε-sous-différentiel de f en x (cf. § 4.4).
1) a) Exprimer ∂ ε f (x) à l’aide de la transformée de Legendre-Fenchel f ∗
de f .
b) Sachant que − f (x) = − f ∗∗ (x) = inf
s∈X ∗
( f ∗ (s) − −s, x), montrer
que l’ε-sous-différentiel est non vide dès que ε > 0.
2) Soient fixés x 0 ∈ dom f , ε > 0 et s 0 ∈ ∂ ε f (x 0 ). Montrer qu’il existe x ε ∈
dom f , s ε ∈ ∂ f (x ε ) (du coup non vide) tels que :
(i) x ε − x 0 ≤
√ ε ;
(ii) s ε − s 0 ∗ ≤
√
ε.
Méthodologie préconisée :
– Appliquer le principe variationnel d’Ekeland à la fonction g(x) :=
f (x) − −s 0 , x avec des seuils appropriés (justifier l’applicabilité de ce
principe dans le contexte présenté).
– Appliquer ensuite la règle de calcul du sous-différentiel de la somme
de fonctions convexes à une somme ad hoc (justifier l’applicabilité de
cette règle).
3) Déduire de ce qui précède le résultat d’approximation-densité suivant :
Pour tout x ∈ dom f , il existe une suite (x n ) de dom f telle que
∂ f (x n ) = ∅ pour tout n,
x n → x quand n → +∞.
(4.67)
On aura ainsi démontré que {x ∈ X | ∂ f (x) = ∅} est dense dans dom f .
4) Application à un théorème d’existence.
On prend (pour simplifier) X = R n . On suppose que f est bornée
inférieurement sur R n et que R(∂ f ) =
x∈R n
∂ f (x) est un fermé (de R n ).
Montrer qu’il existe alors des points ¯
x minimisant f sur R n .
Hint. Appliquer à f ∗ le résultat de densité précédemment démontré,
après avoir observé que R(∂ f ) = {s ∈ R n | ∂ f ∗ (s) = ∅}.