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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Exercice 2 Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit S une partie fermée non
vide de H , soit ϕ S : H → R la fonction convexe continue sur H définie
par ϕ S (x) =
1
2
x 2 − d 2
S (x)
.
Calculer la transformée de Legendre-Fenchel ϕ ∗
S de ϕ S .
Exercice 3 Soit H = S n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit
scalaire U, V := tr(U V ). Soit K le cône convexe fermé des matrices
de S n (R) qui sont semidéfinies positives.
a) Rappeler ce qu’est le cône polaire K ◦ de K .
b) Soit A une matrice semidéfinie positive (A ∈ K ). Montrer
N K (A) = {M semid´ efinie n´ egative | M A = 0}
(4.64)
= {M semid´ efinie n´ egative | Im A ⊂ Ker M}.
Autrement dit (dans (4.64)) : la condition tr(AM) = 0 équivaut à la
nullité du produit matriciel AM.
Hint. Un petit dessin dans le plan ou dans l’espace peut aider à soutenir
l’intuition et guider les démonstrations.
Exercice 4 (Conditions d’optimalité globale) ([HU3])
Soit f : E → R ∪ {+∞} de la forme suivante :
f = g − h, avec g ∈ 0 (E) et h : E → R convexe continue sur E.
On considère le problème de la minimisation globale de f sur E.
1) Montrer que ¯
x est un minimiseur global de f sur E si, et seulement si,
∂ ε h( ¯
x) ⊂ ∂ ε g( ¯
x) pour tout ε > 0.
(4.65)
2) On considère le problème de la maximisation de la fonction convexe
continue h : E → R sur un convexe fermé C de E.
a) Reformuler le problème ci-dessus comme celui de la minimisation
sur E d’une fonction f = g − h, avec g ∈ 0 (E) qu’il s’agit de
déterminer.
b) En déduire que ¯
x ∈ C est un maximiseur global de h sur C si, et
seulement si,
∂ ε h( ¯
x) ⊂ N ε (C, ¯
x) pour tout ε > 0,
(4.66)