5. UN EXEMPLE D’UTILISATION DU SOUS-DIFFÉRENTIEL :
109
Théorème 4.6 Les assertions suivantes, relatives à ¯
x ∈ C, sont équivalentes :
(i) ¯
x est un minimiseur (global) de f sur C.
(ii) ¯
x est un minimiseur local de f sur C.
(iii) L’ opposé du sous-différentiel et le cône normal s’intersectent en ¯
x :
− ∂ f ( ¯
x) ∩ N (C, ¯
x) = ∅.
(4.61)
La situation eût été bien différente si on s’était intéressé au problème de la
maximisation de la fonction f : E → R (supposée convexe continue sur E)
sur le convexe fermé C. Là, une condition nécessaire d’optimalité locale,
parallèle à celle de (4.61), est
∂ f ( ¯
x) ⊂ N (C, ¯
x),
(4.62)
mais on est loin, et bien loin, d’une caractérisation de ¯
x maximiseur (global)
de f sur C !
Le problème d’optimisation (P) sera repris, dans un contexte non convexe
cette fois, au § 1.3 du Chapitre 6.
Retenons de ce chapitre les deux objets essentiels que sont f ∗ et ∂ f .
Exercices
Exercice 1 (Fonctions de valeurs propres)
1) Soit M(x) =
x 0
0 −x
, x ∈ R. On pose
f (x) := la plus grande valeur propre de M(x).
(4.63)
Calculer f (x) et analyser sa non-différentiabilité (en x) à la lumière des
valeurs propres de M(x).
2) Soit x ∈ R d → M(x) =
a i j (x)
∈ S n (R), où les a i j sont toutes des
fonctions affines de x. On définit f (x) comme en (4.63).
a) Montrer que f est convexe.
b) Comment calculer le sous-différentiel de f en x ?
109
Théorème 4.6 Les assertions suivantes, relatives à ¯
x ∈ C, sont équivalentes :
(i) ¯
x est un minimiseur (global) de f sur C.
(ii) ¯
x est un minimiseur local de f sur C.
(iii) L’ opposé du sous-différentiel et le cône normal s’intersectent en ¯
x :
− ∂ f ( ¯
x) ∩ N (C, ¯
x) = ∅.
(4.61)
La situation eût été bien différente si on s’était intéressé au problème de la
maximisation de la fonction f : E → R (supposée convexe continue sur E)
sur le convexe fermé C. Là, une condition nécessaire d’optimalité locale,
parallèle à celle de (4.61), est
∂ f ( ¯
x) ⊂ N (C, ¯
x),
(4.62)
mais on est loin, et bien loin, d’une caractérisation de ¯
x maximiseur (global)
de f sur C !
Le problème d’optimisation (P) sera repris, dans un contexte non convexe
cette fois, au § 1.3 du Chapitre 6.
Retenons de ce chapitre les deux objets essentiels que sont f ∗ et ∂ f .
Exercices
Exercice 1 (Fonctions de valeurs propres)
1) Soit M(x) =
x 0
0 −x
, x ∈ R. On pose
f (x) := la plus grande valeur propre de M(x).
(4.63)
Calculer f (x) et analyser sa non-différentiabilité (en x) à la lumière des
valeurs propres de M(x).
2) Soit x ∈ R d → M(x) =
a i j (x)
∈ S n (R), où les a i j sont toutes des
fonctions affines de x. On définit f (x) comme en (4.63).
a) Montrer que f est convexe.
b) Comment calculer le sous-différentiel de f en x ?