50 clés pour comprendre les maths
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Augustin-Louis Cauchy, Arthur Cayley et Hermann Grassmann, ont tous décrit les
mathématiques en termes d’un espace de dimension n. Il n’y avait, semble-t-il,
aucune raison de limiter les mathématiques et ce faisant, de se priver de tout ce que
l’on pouvait gagner en élégance et en clarté.
L’idée des n dimensions n’est qu’une extension des coordonnées (x, y, z) de la
dimension 3 à un nombre non spécifié de variables. Un cercle en dimension 2 a
pour équation x
2 + y
2 = 1, une sphère en dimension 3 a pour équation
x
2 + y
2 + z
2 = 1, alors pourquoi ne pas imaginer une hypersphère
en dimension 4 qui aurait pour équation x
2 + y
2 + z
2 + w
2 = 1 ?
Les huit coins d’un cube en dimension 3 ont des coordonnées de la forme (x, y, z) où chacun des x, y, z est
soit égal à 0 soit égal à 1. Le cube a six faces dont
chacune est un carré et il y a 2 × 2 × 2 = 8 coins.
Qu’en est-il pour un cube en dimension quatre ? Ses
coordonnées sont de la forme (x, y, z, w) où chacun
des x, y, z, et w est égal à 0 ou à 1. Il y a donc a
2 × 2 × 2 × 2 = 16 coins possibles pour le cube à
quatre dimensions auxquels s’ajoutent huit faces,
dont chacune est un cube. Il est en fait impossible
de voir ce cube à quatre dimensions mais on peut
reproduire sur cette page l’impression qu’en aurait
un artiste. Vous avez sous les yeux une projection du
cube à quatre dimensions tel qu’il existe dans l’imagination du mathématicien. On parvient ainsi à entrevoir les
faces de ce cube.
L’espace à plusieurs dimensions est familier aux spécialistes des mathématiques
pures. Personne ne prétend qu’un tel espace existe réellement même si l’on peut
supposer qu’il existe dans un monde Platonique idéal. Dans le grand problème de la
classification des groupes par exemple, « le groupe des monstres » (voir page 155)
permet de mesurer la symétrie dans un espace mathématique à 196 883 dimensions. On ne peut pas « voir » cet espace comme on le fait dans l’espace ordinaire à
trois dimensions, mais on peut quand même l’imaginer et l’utiliser d’une manière
précise grâce à l’algèbre moderne.
L’intérêt que les mathématiciens portent aux dimensions n’a absolument rien
à voir avec ce qu’est l’analyse dimensionnelle pour le physicien. Les unités de
grandeur de la physique se mesurent en termes de masse M, longueur L, et
temps T. En analyse dimensionnelle, un physicien peut donc vérifier que les
équations sont justes en en comparant les deux membres, qui doivent avoir la
même dimension.
On ne peut pas avoir l’égalité force = vitesse. Une analyse dimensionnelle donne la
vitesse en mètres par seconde. La dimension d’une vitesse est donc une longueur
divisée par un temps, soit L/T, que l’on écrit LT
–1 . La force a la dimension d’une
Le cube à quatre dimensions
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Augustin-Louis Cauchy, Arthur Cayley et Hermann Grassmann, ont tous décrit les
mathématiques en termes d’un espace de dimension n. Il n’y avait, semble-t-il,
aucune raison de limiter les mathématiques et ce faisant, de se priver de tout ce que
l’on pouvait gagner en élégance et en clarté.
L’idée des n dimensions n’est qu’une extension des coordonnées (x, y, z) de la
dimension 3 à un nombre non spécifié de variables. Un cercle en dimension 2 a
pour équation x
2 + y
2 = 1, une sphère en dimension 3 a pour équation
x
2 + y
2 + z
2 = 1, alors pourquoi ne pas imaginer une hypersphère
en dimension 4 qui aurait pour équation x
2 + y
2 + z
2 + w
2 = 1 ?
Les huit coins d’un cube en dimension 3 ont des coordonnées de la forme (x, y, z) où chacun des x, y, z est
soit égal à 0 soit égal à 1. Le cube a six faces dont
chacune est un carré et il y a 2 × 2 × 2 = 8 coins.
Qu’en est-il pour un cube en dimension quatre ? Ses
coordonnées sont de la forme (x, y, z, w) où chacun
des x, y, z, et w est égal à 0 ou à 1. Il y a donc a
2 × 2 × 2 × 2 = 16 coins possibles pour le cube à
quatre dimensions auxquels s’ajoutent huit faces,
dont chacune est un cube. Il est en fait impossible
de voir ce cube à quatre dimensions mais on peut
reproduire sur cette page l’impression qu’en aurait
un artiste. Vous avez sous les yeux une projection du
cube à quatre dimensions tel qu’il existe dans l’imagination du mathématicien. On parvient ainsi à entrevoir les
faces de ce cube.
L’espace à plusieurs dimensions est familier aux spécialistes des mathématiques
pures. Personne ne prétend qu’un tel espace existe réellement même si l’on peut
supposer qu’il existe dans un monde Platonique idéal. Dans le grand problème de la
classification des groupes par exemple, « le groupe des monstres » (voir page 155)
permet de mesurer la symétrie dans un espace mathématique à 196 883 dimensions. On ne peut pas « voir » cet espace comme on le fait dans l’espace ordinaire à
trois dimensions, mais on peut quand même l’imaginer et l’utiliser d’une manière
précise grâce à l’algèbre moderne.
L’intérêt que les mathématiciens portent aux dimensions n’a absolument rien
à voir avec ce qu’est l’analyse dimensionnelle pour le physicien. Les unités de
grandeur de la physique se mesurent en termes de masse M, longueur L, et
temps T. En analyse dimensionnelle, un physicien peut donc vérifier que les
équations sont justes en en comparant les deux membres, qui doivent avoir la
même dimension.
On ne peut pas avoir l’égalité force = vitesse. Une analyse dimensionnelle donne la
vitesse en mètres par seconde. La dimension d’une vitesse est donc une longueur
divisée par un temps, soit L/T, que l’on écrit LT
–1 . La force a la dimension d’une
Le cube à quatre dimensions