La topologie 95
dire des surfaces géométriques qui ressemblent à des morceaux de papier à deux
dimensions lorsque de petites portions sont vues par elles-mêmes. Étant donné
que la bouteille de Klein n’a pas de bord, on dit que c’est une variété « fermée » de
dimension 2.
La conjecture de Poincaré Pendant plus d’un siècle, le problème le plus
important en topologie demeura la conjecture de Poincaré, du nom d’Henri Poincaré
qui la formula. La conjecture se situe aux confluents de l’algèbre et de la topologie.
La partie de la conjecture non résolue jusqu’à ces dernières années concernait les
variétés fermées de dimension 3. En effet, ces variétés peuvent être très compliquées : imaginez une bouteille de Klein de dimension supérieure. Poincaré conjectura que certaines variétés fermées de dimension 3 qui ont toutes les propriétés de
sphères à trois dimensions sont en réalité nécessairement des sphères. Imaginez que
vous faites le tour d’un ballon géant : vous ne recevrez que des indices qui indiquent
qu’il s’agit d’une sphère, mais, comme vous ne pouvez pas la visualiser, vous ne
saurez pas si c’est véritablement le cas.
Personne ne réussit à prouver la conjecture de Poincaré pour les variétés de dimension 3. Était-elle vraie ou fausse ? On avait réussi à en apporter la preuve pour
d’autres dimensions mais le problème de la variété de dimension 3 était récalcitrant.
Plusieurs preuves incorrectes furent produites, mais en 2002, Grigori Perelman, de
l’institut de mathématiques de Steklov à Saint Petersbourg, annonça qu’il l’avait
enfin prouvée. La preuve a finalement été validée le 22 août 2006. À l’instar des
solutions d’autres grands problèmes, les techniques utilisées pour la résoudre se
trouvaient en dehors du champ immédiat des mathématiques : il s’agissait d’une
technique liée à la diffusion de la chaleur.
l’idée clé
Des donuts aux
tasses à café
dire des surfaces géométriques qui ressemblent à des morceaux de papier à deux
dimensions lorsque de petites portions sont vues par elles-mêmes. Étant donné
que la bouteille de Klein n’a pas de bord, on dit que c’est une variété « fermée » de
dimension 2.
La conjecture de Poincaré Pendant plus d’un siècle, le problème le plus
important en topologie demeura la conjecture de Poincaré, du nom d’Henri Poincaré
qui la formula. La conjecture se situe aux confluents de l’algèbre et de la topologie.
La partie de la conjecture non résolue jusqu’à ces dernières années concernait les
variétés fermées de dimension 3. En effet, ces variétés peuvent être très compliquées : imaginez une bouteille de Klein de dimension supérieure. Poincaré conjectura que certaines variétés fermées de dimension 3 qui ont toutes les propriétés de
sphères à trois dimensions sont en réalité nécessairement des sphères. Imaginez que
vous faites le tour d’un ballon géant : vous ne recevrez que des indices qui indiquent
qu’il s’agit d’une sphère, mais, comme vous ne pouvez pas la visualiser, vous ne
saurez pas si c’est véritablement le cas.
Personne ne réussit à prouver la conjecture de Poincaré pour les variétés de dimension 3. Était-elle vraie ou fausse ? On avait réussi à en apporter la preuve pour
d’autres dimensions mais le problème de la variété de dimension 3 était récalcitrant.
Plusieurs preuves incorrectes furent produites, mais en 2002, Grigori Perelman, de
l’institut de mathématiques de Steklov à Saint Petersbourg, annonça qu’il l’avait
enfin prouvée. La preuve a finalement été validée le 22 août 2006. À l’instar des
solutions d’autres grands problèmes, les techniques utilisées pour la résoudre se
trouvaient en dehors du champ immédiat des mathématiques : il s’agissait d’une
technique liée à la diffusion de la chaleur.
l’idée clé
Des donuts aux
tasses à café