50 clés pour comprendre les maths
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transformer le donut en balle puisque le donut comporte un trou, à l’inverse de la
balle. C’est ce qui différencie fondamentalement ces deux surfaces. On peut donc
classer les surfaces en fonction du nombre de trous qu’elles contiennent.
Prenons une surface contenant r trous, et divisons-la en régions limitées par des
arêtes joignant les sommets. Cela fait, on peut compter le nombre de sommets,
d’arêtes et de faces. Pour toute division, la formule d’Euler S – A + F a une valeur
constante, appelée la caractéristique d’Euler de la surface (ou d’Euler-Poincaré) :
S – A + F = 2 – 2r.
Si la surface ne contient aucun trou (r = 0) comme c’était le cas pour le polyèdre
ordinaire, la formule se réduit à la formule d’Euler S – A + F = 2. S’il y a un trou,
(r = 1), comme dans l’exemple du cube percé d’un tunnel, S – A + F = 0.
Les surfaces à un seul côté Une surface comporte d’ordinaire deux faces.
L’extérieur d’une balle est différent de son intérieur et la seule façon de passer
d’un côté à l’autre est de percer un trou dans la balle, opération de découpage
non autorisée en topologie (on peut étendre les surfaces mais
pas les couper). Un morceau de papier est un autre
exemple de surface à deux faces. Le seul endroit
où un côté rencontre l’autre, c’est le long de la
frontière formée par les deux côtés du papier.
L’idée d’une surface à une seule face semble
bizarre. Néanmoins, une telle surface, célèbre
aujourd’hui, a été découverte par le mathématicien et astronome allemand August Möbius
au xix
e siècle. Pour la construire, on prend une
bande de papier, on lui fait subir une torsion et
on colle les deux extrémités. Le résultat est un « ruban
de Möbius », surface à une seule face et un bord courbe. Vous
pouvez prendre votre crayon et commencer à tracer une droite en son milieu. Très
vite, vous revenez à votre point de départ !
Il est même possible d’avoir une surface à une seule face
et sans bord. C’est la « bouteille de Klein », qui doit
son nom au mathématicien allemand Félix Klein. Ce
qui est particulièrement impressionnant avec cette
bouteille, c’est qu’elle ne se coupe pas elle-même.
Cependant, il n’est pas possible de représenter une
bouteille de Klein dans l’espace à trois dimensions
sans avoir d’intersection physique, car l’espace qui
lui convient est l’espace à quatre dimensions, qui
autorise cette absence d’intersection.
Ces deux surfaces sont des exemples de ce que les topologues appellent des « variétés topologiques », c’est-àLe ruban
de Möbius
La bouteille
de Klein
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transformer le donut en balle puisque le donut comporte un trou, à l’inverse de la
balle. C’est ce qui différencie fondamentalement ces deux surfaces. On peut donc
classer les surfaces en fonction du nombre de trous qu’elles contiennent.
Prenons une surface contenant r trous, et divisons-la en régions limitées par des
arêtes joignant les sommets. Cela fait, on peut compter le nombre de sommets,
d’arêtes et de faces. Pour toute division, la formule d’Euler S – A + F a une valeur
constante, appelée la caractéristique d’Euler de la surface (ou d’Euler-Poincaré) :
S – A + F = 2 – 2r.
Si la surface ne contient aucun trou (r = 0) comme c’était le cas pour le polyèdre
ordinaire, la formule se réduit à la formule d’Euler S – A + F = 2. S’il y a un trou,
(r = 1), comme dans l’exemple du cube percé d’un tunnel, S – A + F = 0.
Les surfaces à un seul côté Une surface comporte d’ordinaire deux faces.
L’extérieur d’une balle est différent de son intérieur et la seule façon de passer
d’un côté à l’autre est de percer un trou dans la balle, opération de découpage
non autorisée en topologie (on peut étendre les surfaces mais
pas les couper). Un morceau de papier est un autre
exemple de surface à deux faces. Le seul endroit
où un côté rencontre l’autre, c’est le long de la
frontière formée par les deux côtés du papier.
L’idée d’une surface à une seule face semble
bizarre. Néanmoins, une telle surface, célèbre
aujourd’hui, a été découverte par le mathématicien et astronome allemand August Möbius
au xix
e siècle. Pour la construire, on prend une
bande de papier, on lui fait subir une torsion et
on colle les deux extrémités. Le résultat est un « ruban
de Möbius », surface à une seule face et un bord courbe. Vous
pouvez prendre votre crayon et commencer à tracer une droite en son milieu. Très
vite, vous revenez à votre point de départ !
Il est même possible d’avoir une surface à une seule face
et sans bord. C’est la « bouteille de Klein », qui doit
son nom au mathématicien allemand Félix Klein. Ce
qui est particulièrement impressionnant avec cette
bouteille, c’est qu’elle ne se coupe pas elle-même.
Cependant, il n’est pas possible de représenter une
bouteille de Klein dans l’espace à trois dimensions
sans avoir d’intersection physique, car l’espace qui
lui convient est l’espace à quatre dimensions, qui
autorise cette absence d’intersection.
Ces deux surfaces sont des exemples de ce que les topologues appellent des « variétés topologiques », c’est-àLe ruban
de Möbius
La bouteille
de Klein