La topologie 93
1858
Möbius et Listing
présentent le
ruban de Möbius.
1961
Stephen Smale prouve la
conjecture de Poincaré en
dimension supérieure à 4.
1982
Michael Freedman prouve
la conjecture de Poincaré
en dimension égale à 4.
2002
Perelman prouve
la conjecture de Poincaré
pour la dimension 3.
grand résultat présenté dans les Éléments d’Euclide
montre qu’il y a exactement cinq polyèdres réguliers.
Voici les solides de Platon :
• le tétraèdre (4 faces triangulaires)
• le cube (6 faces carrées)
• l’octaèdre (8 faces triangulaires)
• le dodécaèdre (12 faces pentagonales)
• l’icosaèdre (20 faces triangulaires).
Si l’on abandonne l’hypothèse selon laquelle toutes
les faces sont identiques, nous nous retrouvons dans
le monde des solides semi-réguliers d’Archimède. Des
exemples peuvent être générés à partir des solides de
Platon. Si l’on coupe (ou tronque) les coins de l’icosaèdre, on obtient la forme du ballon de foot actuel. Les
32 faces qui forment les pans sont constituées de 12 pentagones et de 20 hexagones. Il y a 90 côtés et 60 sommets.
C’est aussi la forme des molécules buckminsterfullerènes, du
nom du scientifique visionnaire Richard Buckminster Fuller,
créateur du dôme géodésique. Ces « buckyballes » sont une
forme de carbone récemment découverte, le C 60 , dont chaque
sommet correspond à un atome de carbone.
La formule d’Euler Selon la formule d’Euler, les nombres de sommets
(S), d’arêtes (A) et de faces (F) d’un polyèdre sont liés par la formule
S – A + F = 2.
Pour un cube par exemple, S = 8, A = 12, et F = 6, et donc S – A + F = 8 – 12
+ 6 = 2, et, pour les buckminsterfullerènes, S – A + F = 60 – 90 + 32 = 2. Ce
théorème remet en fait en question la notion même de polyèdre.
Si un cube est traversé par un « tunnel », est-ce un vrai polyèdre ?
Pour cette forme, S = 16, A = 32, F = 16 et S – A + F = 16 – 32 + 16
= 0. La formule d’Euler ne fonctionne pas. Pour que la formule
soit à nouveau correcte, on pourrait se limiter aux polyèdres qui
ne comportent pas de tunnel. Ou alors, on pourrait généraliser
la formule pour inclure cette particularité.
La classification des surfaces Un topologue peut très
bien considérer que le donut et la tasse à café sont identiques,
mais quel genre de surface est différent du donut ? On peut
penser à la balle en caoutchouc. Il n’existe aucune façon de
Tétraèdre
Cube
Octaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre
Icosaèdre
tronqué
Cube traversé
par un tunnel
1858
Möbius et Listing
présentent le
ruban de Möbius.
1961
Stephen Smale prouve la
conjecture de Poincaré en
dimension supérieure à 4.
1982
Michael Freedman prouve
la conjecture de Poincaré
en dimension égale à 4.
2002
Perelman prouve
la conjecture de Poincaré
pour la dimension 3.
grand résultat présenté dans les Éléments d’Euclide
montre qu’il y a exactement cinq polyèdres réguliers.
Voici les solides de Platon :
• le tétraèdre (4 faces triangulaires)
• le cube (6 faces carrées)
• l’octaèdre (8 faces triangulaires)
• le dodécaèdre (12 faces pentagonales)
• l’icosaèdre (20 faces triangulaires).
Si l’on abandonne l’hypothèse selon laquelle toutes
les faces sont identiques, nous nous retrouvons dans
le monde des solides semi-réguliers d’Archimède. Des
exemples peuvent être générés à partir des solides de
Platon. Si l’on coupe (ou tronque) les coins de l’icosaèdre, on obtient la forme du ballon de foot actuel. Les
32 faces qui forment les pans sont constituées de 12 pentagones et de 20 hexagones. Il y a 90 côtés et 60 sommets.
C’est aussi la forme des molécules buckminsterfullerènes, du
nom du scientifique visionnaire Richard Buckminster Fuller,
créateur du dôme géodésique. Ces « buckyballes » sont une
forme de carbone récemment découverte, le C 60 , dont chaque
sommet correspond à un atome de carbone.
La formule d’Euler Selon la formule d’Euler, les nombres de sommets
(S), d’arêtes (A) et de faces (F) d’un polyèdre sont liés par la formule
S – A + F = 2.
Pour un cube par exemple, S = 8, A = 12, et F = 6, et donc S – A + F = 8 – 12
+ 6 = 2, et, pour les buckminsterfullerènes, S – A + F = 60 – 90 + 32 = 2. Ce
théorème remet en fait en question la notion même de polyèdre.
Si un cube est traversé par un « tunnel », est-ce un vrai polyèdre ?
Pour cette forme, S = 16, A = 32, F = 16 et S – A + F = 16 – 32 + 16
= 0. La formule d’Euler ne fonctionne pas. Pour que la formule
soit à nouveau correcte, on pourrait se limiter aux polyèdres qui
ne comportent pas de tunnel. Ou alors, on pourrait généraliser
la formule pour inclure cette particularité.
La classification des surfaces Un topologue peut très
bien considérer que le donut et la tasse à café sont identiques,
mais quel genre de surface est différent du donut ? On peut
penser à la balle en caoutchouc. Il n’existe aucune façon de
Tétraèdre
Cube
Octaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre
Icosaèdre
tronqué
Cube traversé
par un tunnel