Les courbes 91
(x,y). Si par exemple t = 0 ,
on obtient le point (0, 0),
t = 1 donne le point (1, 2)
et ainsi de suite. Si l’on trace
ces points dans le repère
(Ox), (Oy) et que l’on « relie
les points entre eux », on
obtient une parabole. Jordan
affina cette idée de points
reliés. Pour lui, c’était la définition d’une courbe.
Les courbes de Jordan
peuvent être compliquées,
même lorsqu’elles sont
« simples » (elles ne se
croisent pas) et « fermées »
(elles n’ont ni début ni fin)
comme le cercle. Le célèbre
théorème de Jordan stipule qu’une courbe simple fermée a un intérieur et un extérieur. Son apparente « évidence » est un leurre.
En Italie, Giuseppe Peano fit sensation lorsqu’il montra en 1890 que, selon la définition de Jordan, un carré plein est une courbe. Il était possible d’arranger les points
dans un carré de sorte qu’ils pouvaient tous être « reliés » selon la définition de
Jordan. On appela ce type de courbe une courbe de Peano et on écorna au passage la définition de Jordan : il est clair qu’un carré n’est pas une courbe au sens
conventionnel.
Les exemples de courbes de Peano et les autres exemples pathologiques obligèrent
les mathématiciens à reprendre leur table à dessin et à réfléchir aux fondements
de la théorie des courbes. Il s’agissait de développer une meilleure définition d’une
courbe. Au début du xx
e siècle, cette tâche conduisit les mathématiques dans ce
nouveau domaine que constitue la topologie.
Une courbe de Jordan
simple et fermée
l’idée clé
Prendre le tournant
(x,y). Si par exemple t = 0 ,
on obtient le point (0, 0),
t = 1 donne le point (1, 2)
et ainsi de suite. Si l’on trace
ces points dans le repère
(Ox), (Oy) et que l’on « relie
les points entre eux », on
obtient une parabole. Jordan
affina cette idée de points
reliés. Pour lui, c’était la définition d’une courbe.
Les courbes de Jordan
peuvent être compliquées,
même lorsqu’elles sont
« simples » (elles ne se
croisent pas) et « fermées »
(elles n’ont ni début ni fin)
comme le cercle. Le célèbre
théorème de Jordan stipule qu’une courbe simple fermée a un intérieur et un extérieur. Son apparente « évidence » est un leurre.
En Italie, Giuseppe Peano fit sensation lorsqu’il montra en 1890 que, selon la définition de Jordan, un carré plein est une courbe. Il était possible d’arranger les points
dans un carré de sorte qu’ils pouvaient tous être « reliés » selon la définition de
Jordan. On appela ce type de courbe une courbe de Peano et on écorna au passage la définition de Jordan : il est clair qu’un carré n’est pas une courbe au sens
conventionnel.
Les exemples de courbes de Peano et les autres exemples pathologiques obligèrent
les mathématiciens à reprendre leur table à dessin et à réfléchir aux fondements
de la théorie des courbes. Il s’agissait de développer une meilleure définition d’une
courbe. Au début du xx
e siècle, cette tâche conduisit les mathématiques dans ce
nouveau domaine que constitue la topologie.
Une courbe de Jordan
simple et fermée
l’idée clé
Prendre le tournant