50 clés pour comprendre les maths
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Il existe un grand nombre de courbes classiques, telles que le limaçon, la lemniscate
et les divers ovales. La cardioïde s’appelle ainsi parce qu’elle est en forme de cœur.
La courbe caténaire fit l’objet de recherches au xviii
e siècle et fut identifiée comme
la courbe dessinée par une chaînette qui pend entre deux points. La caténaire est
cette courbe que l’on observe dans les ponts suspendus entre deux pylônes.
La recherche poursuivie au xix
e siècle sur les courbes s’intéressa
notamment à celles que produisent des tiges mécaniques.
C’était une extension du problème que l’ingénieur écossais James Watt réussit presque à résoudre avec son
système de tiges articulées destiné à convertir
le mouvement circulaire en mouvement
linéaire. À l’ère de la machine à vapeur,
c’était une avancée considérable.
Le plus simple de ces appareils automatiques est le mécanisme à trois barres, dont les
barres articulées sont fixées aux deux extrémités. Quel
que soit le mouvement de la « barre coupleuse » PQ, le
lieu géométrique d’un point placé sur cette barre est une
courbe de degré six, une « sextique ».
Les courbes algébriques Après Descartes, qui révolutionna la géométrie
avec l’introduction des coordonnées x et y et les axes cartésiens auxquels il donna
son nom, les coniques pouvaient maintenant être étudiées à l’aide d’équations
algébriques. Le cercle centré en l’origine et de rayon 1 a par exemple pour équation
x
2 + y
2 = 1, qui est une équation du second degré, et il en est ainsi pour toutes les
coniques. Une nouvelle branche de la géométrie appelée géométrie analytique se
développa alors.
Dans une étude capitale, Isaac Newton classifia les courbes qui s’écrivent sous la
forme d’équations algébriques de degré trois, ou courbes cubiques. Aux quatre
coniques de base, il opposa 78 types différents de cubiques qu’il regroupa en cinq
classes. Le nombre de types différents de quartiques est en pleine expansion, mais
il y en a tellement que la classification reste inachevée à ce jour.
L’histoire ne s’arrête pas avec l’étude des courbes présentées sous leur forme d’équations algébriques. De nombreuses courbes telles que les caténaires, les cycloïdes
(courbes tracées par un point situé sur une roue qui tourne) et les spirales ne
s’écrivent pas facilement à l’aide d’équations algébriques.
Une équation Ce que les mathématiciens recherchaient, c’était une définition
générale pour une courbe quelconque, et pas seulement pour des exemples particuliers. Camille Jordan proposa une théorie des courbes construite sur la définition
d’une courbe en termes de points variables.
En voici un exemple. Si l’on pose x = t
2 et y = 2t, alors, pour différentes valeurs de
t on obtient de nombreux points différents dont on peut donner les coordonnées
Le système articulé
à trois barres
P
Q
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Il existe un grand nombre de courbes classiques, telles que le limaçon, la lemniscate
et les divers ovales. La cardioïde s’appelle ainsi parce qu’elle est en forme de cœur.
La courbe caténaire fit l’objet de recherches au xviii
e siècle et fut identifiée comme
la courbe dessinée par une chaînette qui pend entre deux points. La caténaire est
cette courbe que l’on observe dans les ponts suspendus entre deux pylônes.
La recherche poursuivie au xix
e siècle sur les courbes s’intéressa
notamment à celles que produisent des tiges mécaniques.
C’était une extension du problème que l’ingénieur écossais James Watt réussit presque à résoudre avec son
système de tiges articulées destiné à convertir
le mouvement circulaire en mouvement
linéaire. À l’ère de la machine à vapeur,
c’était une avancée considérable.
Le plus simple de ces appareils automatiques est le mécanisme à trois barres, dont les
barres articulées sont fixées aux deux extrémités. Quel
que soit le mouvement de la « barre coupleuse » PQ, le
lieu géométrique d’un point placé sur cette barre est une
courbe de degré six, une « sextique ».
Les courbes algébriques Après Descartes, qui révolutionna la géométrie
avec l’introduction des coordonnées x et y et les axes cartésiens auxquels il donna
son nom, les coniques pouvaient maintenant être étudiées à l’aide d’équations
algébriques. Le cercle centré en l’origine et de rayon 1 a par exemple pour équation
x
2 + y
2 = 1, qui est une équation du second degré, et il en est ainsi pour toutes les
coniques. Une nouvelle branche de la géométrie appelée géométrie analytique se
développa alors.
Dans une étude capitale, Isaac Newton classifia les courbes qui s’écrivent sous la
forme d’équations algébriques de degré trois, ou courbes cubiques. Aux quatre
coniques de base, il opposa 78 types différents de cubiques qu’il regroupa en cinq
classes. Le nombre de types différents de quartiques est en pleine expansion, mais
il y en a tellement que la classification reste inachevée à ce jour.
L’histoire ne s’arrête pas avec l’étude des courbes présentées sous leur forme d’équations algébriques. De nombreuses courbes telles que les caténaires, les cycloïdes
(courbes tracées par un point situé sur une roue qui tourne) et les spirales ne
s’écrivent pas facilement à l’aide d’équations algébriques.
Une équation Ce que les mathématiciens recherchaient, c’était une définition
générale pour une courbe quelconque, et pas seulement pour des exemples particuliers. Camille Jordan proposa une théorie des courbes construite sur la définition
d’une courbe en termes de points variables.
En voici un exemple. Si l’on pose x = t
2 et y = 2t, alors, pour différentes valeurs de
t on obtient de nombreux points différents dont on peut donner les coordonnées
Le système articulé
à trois barres
P
Q