Les courbes 89
1704 ap. J.-C.
Newton classifie les courbes
cubiques.
1890
Peano prouve qu’un carré
plein est une courbe
(la courbe de Peano).
Dans les années 1920
Menger et Urysohn définissent les courbes
comme appartenant au domaine
de la topologie.
C’est la méthode du « lieu géométrique » chère aux Grecs, et qui, contrairement à
la définition projective, nécessite des indications de longueur. Si un point se déplace
et que la distance qui le sépare d’un autre point unique fixe reste la même, on a un
cercle. Si un point se déplace et que la somme des distances qui le sépare de deux
points fixes (« les foyers ») est une valeur constante, on obtient une ellipse (lorsque
les foyers sont les mêmes, l’ellipse devient un cercle). L’ellipse fut la clé pour comprendre le déplacement des planètes. En 1609, l’astronome allemand Johannes
Kepler proclama que les planètes tournent autour du Soleil selon des trajectoires
elliptiques, rejetant ainsi la vieille idée d’orbites circulaires.
Moins évident : le point qui se déplace de telle façon que sa distance par rapport
à un point (le foyer F) est la même que la distance qui le sépare perpendiculairement d’une droite donnée (la directrice). Dans ce cas, on obtient une parabole. La
parabole possède un tas de propriétés utiles. Si une source de lumière est placée au
foyer F, les rayons de lumière émis sont parallèles à [PM].
D’un autre côté, si des signaux envoyés par un satellite
viennent frapper une parabole réceptrice, ils convergent
vers le foyer pour être ensuite dirigés vers le téléviseur.
Si l’on fait tourner une baguette autour d’un point, tous les
points fixes de la baguette dessinent un cercle, mais si un
point se déplace le long de la baguette et tourne avec cette
baguette, on obtient une spirale. Les Pythagoriciens aimaient
beaucoup les spirales et, bien des années plus tard, Léonard
de Vinci passa dix ans de sa vie à en étudier les différents
types ; quant à René Descartes, il écrivit un traité à leur sujet.
La spirale logarithmique s’appelle aussi la spirale équiangle parce que
l’angle délimité par un rayon et la tangente est constant quel que soit
le point où le rayon rencontre la spirale.
Jacob Bernoulli, qui appartenait à cette
illustre famille de mathématiciens
suisses, était si épris de la spirale
logarithmique qu’il la fit graver
sur sa tombe à Bâle. « L’homme
de la Renaissance » Emmanuel
Swedenborg considérait la spirale
comme la forme la plus parfaite de
toutes. Une spirale à trois dimensions
qui s’enroule autour d’un cylindre
s’appelle une hélice. Deux hélices (une
double hélice) forment la structure de base
de l’ADN.
La parabole
La spirale logarithmique
x
F
P
M
1704 ap. J.-C.
Newton classifie les courbes
cubiques.
1890
Peano prouve qu’un carré
plein est une courbe
(la courbe de Peano).
Dans les années 1920
Menger et Urysohn définissent les courbes
comme appartenant au domaine
de la topologie.
C’est la méthode du « lieu géométrique » chère aux Grecs, et qui, contrairement à
la définition projective, nécessite des indications de longueur. Si un point se déplace
et que la distance qui le sépare d’un autre point unique fixe reste la même, on a un
cercle. Si un point se déplace et que la somme des distances qui le sépare de deux
points fixes (« les foyers ») est une valeur constante, on obtient une ellipse (lorsque
les foyers sont les mêmes, l’ellipse devient un cercle). L’ellipse fut la clé pour comprendre le déplacement des planètes. En 1609, l’astronome allemand Johannes
Kepler proclama que les planètes tournent autour du Soleil selon des trajectoires
elliptiques, rejetant ainsi la vieille idée d’orbites circulaires.
Moins évident : le point qui se déplace de telle façon que sa distance par rapport
à un point (le foyer F) est la même que la distance qui le sépare perpendiculairement d’une droite donnée (la directrice). Dans ce cas, on obtient une parabole. La
parabole possède un tas de propriétés utiles. Si une source de lumière est placée au
foyer F, les rayons de lumière émis sont parallèles à [PM].
D’un autre côté, si des signaux envoyés par un satellite
viennent frapper une parabole réceptrice, ils convergent
vers le foyer pour être ensuite dirigés vers le téléviseur.
Si l’on fait tourner une baguette autour d’un point, tous les
points fixes de la baguette dessinent un cercle, mais si un
point se déplace le long de la baguette et tourne avec cette
baguette, on obtient une spirale. Les Pythagoriciens aimaient
beaucoup les spirales et, bien des années plus tard, Léonard
de Vinci passa dix ans de sa vie à en étudier les différents
types ; quant à René Descartes, il écrivit un traité à leur sujet.
La spirale logarithmique s’appelle aussi la spirale équiangle parce que
l’angle délimité par un rayon et la tangente est constant quel que soit
le point où le rayon rencontre la spirale.
Jacob Bernoulli, qui appartenait à cette
illustre famille de mathématiciens
suisses, était si épris de la spirale
logarithmique qu’il la fit graver
sur sa tombe à Bâle. « L’homme
de la Renaissance » Emmanuel
Swedenborg considérait la spirale
comme la forme la plus parfaite de
toutes. Une spirale à trois dimensions
qui s’enroule autour d’un cylindre
s’appelle une hélice. Deux hélices (une
double hélice) forment la structure de base
de l’ADN.
La parabole
La spirale logarithmique
x
F
P
M