50 clés pour comprendre les maths
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Mais il y a mieux. Dans tout triangle ABC, les points G, H et O, qui sont
respectivement le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle
circonscrit, sont eux-mêmes alignés sur une droite appelée « la
droite d’Euler ». Dans le cas d’un triangle équilatéral (où les trois
côtés sont de même longueur), ces trois points se confondent
en un point qui est de toute évidence le centre du triangle.
Le théorème de Napoléon Si pour un triangle ABC
quelconque, on construit un triangle équilatéral sur chacun
de ses trois côtés, les centres de gravité de ces triangles forment un nouveau triangle DEF. Le théorème de Napoléon
stipule que pour tout triangle ABC, le triangle DEF est un
triangle équilatéral.
Ce théorème a été publié pour la première fois dans un journal
anglais en 1825, quelques années après la mort de Napoléon à SainteHélène en 1821. Les capacités de Napoléon en mathématiques l’ont sans
nul doute aidé à obtenir son admission à l’école de guerre, et plus tard,
devenu empereur, il rencontra les mathématiciens de Paris les
plus en vue. Malheureusement, aucune preuve ne peut nous permettre d’en dire plus et le « théorème de Napoléon » est, comme
beaucoup d’autres résultats mathématiques, attribué à une personne qui a peu à voir avec sa découverte ou sa preuve. C’est en
effet un théorème qui est constamment redécouvert et élargi.
Les données essentielles qui déterminent un triangle sont la longueur d’un côté et la mesure de deux angles. En utilisant la trigonométrie, on peut mesurer tout le reste.
Lorsque l’on fait un levé topographique de territoires pour dresser des cartes, il
est plutôt utile de se comporter comme ces « Flatlanders » qui habitent le pays
plat imaginé par Edwin E. Abbot et donc de supposer que les triangles sont plats.
On établit un réseau de triangles à partir d’une base [BC] de longueur connue. On
choisit ensuite un point A extérieur à cette base (le point de triangulation) et on
mesure les angles ABC et ACB avec un théodolite. Grâce à la trigonométrie, on
sait tout du triangle ABC, et le géomètre peut ainsi progresser et placer le point de
triangulation suivant en fonction de la nouvelle position des bases [AB] ou [AC] et
répéter l’opération pour constituer un maillage de triangles. La méthode permet de
dresser les cartes d’endroits inhospitaliers qui comportent des obstacles tels que des
marécages, des tourbières, des sables mouvants et des fleuves.
C’est ce qui a servi de base pour effectuer le grand relevé trigonométrique de l’Inde
commencé dans les années 1800 et qui s’acheva 40 ans plus tard. L’objectif était de
faire un levé topographique afin d’établir la carte de la région du grand Arc Méridien,
depuis Cap Comorin dans le sud, jusqu’à l’Himalaya au nord, sur une distance d’environ 2500 kilomètres. Pour garantir la plus grande précision dans la mesure des
angles, Sir George Everest fit fabriquer deux théodolites géants à Londres de 1 tonne
A
A
F
C
M
E
B
D
G
L
N
H
B
C
D
E
F
La droite
d’Euler
Le théorème
de Napoléon
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Mais il y a mieux. Dans tout triangle ABC, les points G, H et O, qui sont
respectivement le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle
circonscrit, sont eux-mêmes alignés sur une droite appelée « la
droite d’Euler ». Dans le cas d’un triangle équilatéral (où les trois
côtés sont de même longueur), ces trois points se confondent
en un point qui est de toute évidence le centre du triangle.
Le théorème de Napoléon Si pour un triangle ABC
quelconque, on construit un triangle équilatéral sur chacun
de ses trois côtés, les centres de gravité de ces triangles forment un nouveau triangle DEF. Le théorème de Napoléon
stipule que pour tout triangle ABC, le triangle DEF est un
triangle équilatéral.
Ce théorème a été publié pour la première fois dans un journal
anglais en 1825, quelques années après la mort de Napoléon à SainteHélène en 1821. Les capacités de Napoléon en mathématiques l’ont sans
nul doute aidé à obtenir son admission à l’école de guerre, et plus tard,
devenu empereur, il rencontra les mathématiciens de Paris les
plus en vue. Malheureusement, aucune preuve ne peut nous permettre d’en dire plus et le « théorème de Napoléon » est, comme
beaucoup d’autres résultats mathématiques, attribué à une personne qui a peu à voir avec sa découverte ou sa preuve. C’est en
effet un théorème qui est constamment redécouvert et élargi.
Les données essentielles qui déterminent un triangle sont la longueur d’un côté et la mesure de deux angles. En utilisant la trigonométrie, on peut mesurer tout le reste.
Lorsque l’on fait un levé topographique de territoires pour dresser des cartes, il
est plutôt utile de se comporter comme ces « Flatlanders » qui habitent le pays
plat imaginé par Edwin E. Abbot et donc de supposer que les triangles sont plats.
On établit un réseau de triangles à partir d’une base [BC] de longueur connue. On
choisit ensuite un point A extérieur à cette base (le point de triangulation) et on
mesure les angles ABC et ACB avec un théodolite. Grâce à la trigonométrie, on
sait tout du triangle ABC, et le géomètre peut ainsi progresser et placer le point de
triangulation suivant en fonction de la nouvelle position des bases [AB] ou [AC] et
répéter l’opération pour constituer un maillage de triangles. La méthode permet de
dresser les cartes d’endroits inhospitaliers qui comportent des obstacles tels que des
marécages, des tourbières, des sables mouvants et des fleuves.
C’est ce qui a servi de base pour effectuer le grand relevé trigonométrique de l’Inde
commencé dans les années 1800 et qui s’acheva 40 ans plus tard. L’objectif était de
faire un levé topographique afin d’établir la carte de la région du grand Arc Méridien,
depuis Cap Comorin dans le sud, jusqu’à l’Himalaya au nord, sur une distance d’environ 2500 kilomètres. Pour garantir la plus grande précision dans la mesure des
angles, Sir George Everest fit fabriquer deux théodolites géants à Londres de 1 tonne
A
A
F
C
M
E
B
D
G
L
N
H
B
C
D
E
F
La droite
d’Euler
Le théorème
de Napoléon