Les triangles 85
1571
François Viète publie un livre
sur la trigonométrie et des tables
trigonométriques.
1822
Karl Feuerbach découvre
le cercle des 9 points
d’un triangle.
1873
Brocard présente un travail très
complet sur le triangle.
algébriques qu’il est le mieux formulé : a
2 + b
2 = c
2
. Mais dans la version géométrique
du théorème, Euclide fait référence à de véritables carrés : « Aux triangles rectangles,
le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »
La preuve d’Euclide, qui correspond à la
Proposition 47, Livre 1 des Éléments, est par la
suite devenue un véritable sujet d’inquiétude
pour des générations d’écoliers qui redoublaient
d’efforts pour l’apprendre par cœur et ne pas
avoir à subir les conséquences de leur ignorance.
Il en existe des centaines de preuves. Celle qui
remporte tous les suffrages est plus proche, dans
l’esprit, d’une preuve découverte par Bhaskara au
xii
e siècle que de la preuve fournie par Euclide,
qui remonte à 300 ans av. J.-C.
C’est une preuve « sans parole ». Sur notre
figure, le carré de côté a + b peut être divisé de
deux manières différentes.
Puisque les quatre triangles égaux (en noir)
sont communs aux deux carrés, on peut les
enlever tout en conservant l’égalité d’aire. Si
l’on examine les aires des figures restantes, la
formule bien connue jaillit soudain :
a
2 + b
2 = c
2
.
La droite d’Euler On peut formuler des centaines de propositions sur les triangles. Prenons d’abord les points des milieux des
côtés. Dans un triangle ABC quelconque, on note D, E, F les points
des milieux des trois côtés. Reliez les points B et F puis C et D
et notez G le point d’intersection où les droites se coupent.
Reliez à présent A et E. Cette droite passe-t-elle également par
le point G ? Il n’est pas évident de le savoir sans pousser plus
avant le raisonnement. En réalité, elle passe effectivement par
le point G qui s’appelle le « centre de gravité » du triangle.
Il existe littéralement des centaines de « centres » différents dans un triangle. On
connaît par exemple le point H où se coupent les hauteurs (les droites passant par les
sommets et perpendiculaires aux côtés opposés, en pointillés sur la figure page 86).
C’est « l’orthocentre ». Il en existe aussi un autre qui s’appelle le « centre du cercle
circonscrit » O où chacune des droites (appelées « médiatrices ») se rencontrent en D,
E et F (non représentées). C’est le centre du cercle qui passe par A, B et C.
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
b
=
b
2
c
2
c
c
b
b
b
c
c
c
c
b
a
a
a
A
A
B
E
F
D
G
C
B
C
a
2
1571
François Viète publie un livre
sur la trigonométrie et des tables
trigonométriques.
1822
Karl Feuerbach découvre
le cercle des 9 points
d’un triangle.
1873
Brocard présente un travail très
complet sur le triangle.
algébriques qu’il est le mieux formulé : a
2 + b
2 = c
2
. Mais dans la version géométrique
du théorème, Euclide fait référence à de véritables carrés : « Aux triangles rectangles,
le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »
La preuve d’Euclide, qui correspond à la
Proposition 47, Livre 1 des Éléments, est par la
suite devenue un véritable sujet d’inquiétude
pour des générations d’écoliers qui redoublaient
d’efforts pour l’apprendre par cœur et ne pas
avoir à subir les conséquences de leur ignorance.
Il en existe des centaines de preuves. Celle qui
remporte tous les suffrages est plus proche, dans
l’esprit, d’une preuve découverte par Bhaskara au
xii
e siècle que de la preuve fournie par Euclide,
qui remonte à 300 ans av. J.-C.
C’est une preuve « sans parole ». Sur notre
figure, le carré de côté a + b peut être divisé de
deux manières différentes.
Puisque les quatre triangles égaux (en noir)
sont communs aux deux carrés, on peut les
enlever tout en conservant l’égalité d’aire. Si
l’on examine les aires des figures restantes, la
formule bien connue jaillit soudain :
a
2 + b
2 = c
2
.
La droite d’Euler On peut formuler des centaines de propositions sur les triangles. Prenons d’abord les points des milieux des
côtés. Dans un triangle ABC quelconque, on note D, E, F les points
des milieux des trois côtés. Reliez les points B et F puis C et D
et notez G le point d’intersection où les droites se coupent.
Reliez à présent A et E. Cette droite passe-t-elle également par
le point G ? Il n’est pas évident de le savoir sans pousser plus
avant le raisonnement. En réalité, elle passe effectivement par
le point G qui s’appelle le « centre de gravité » du triangle.
Il existe littéralement des centaines de « centres » différents dans un triangle. On
connaît par exemple le point H où se coupent les hauteurs (les droites passant par les
sommets et perpendiculaires aux côtés opposés, en pointillés sur la figure page 86).
C’est « l’orthocentre ». Il en existe aussi un autre qui s’appelle le « centre du cercle
circonscrit » O où chacune des droites (appelées « médiatrices ») se rencontrent en D,
E et F (non représentées). C’est le centre du cercle qui passe par A, B et C.
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
b
=
b
2
c
2
c
c
b
b
b
c
c
c
c
b
a
a
a
A
A
B
E
F
D
G
C
B
C
a
2