Les constructions 83
livre Géometrie du compas qu’il écrivit en 1797 et
dédié à Napoléon, tient à sa rédaction en vers.
Pour le cas général, les polygones à p côtés où p est
un nombre premier sont particulièrement importants. Nous avons déjà construit le polygone à
3 côtés, et Euclide construisit le polygone à 5 côtés,
mais il ne parvint pas à construire de polygone à
7 côtés (l’heptagone). Étudiant le problème à l’âge
de 17 ans, un certain Carl Friederich Gauss prouva
la négation. Il prouva par déduction qu’il n’est pas
possible de construire un polygone à p côtés pour
p = 7, 11, ou 13.
Mais Gauss prouva également une proposition
positive, à savoir qu’il est possible de construire un
polygone à 17 côtés. En réalité, il alla bien plus loin
en prouvant que l’on peut construire un polygone
à p côtés si et seulement si le nombre premier p est
de la forme
p = 2
2
n + 1.
Les nombres de cette forme sont appelés les nombres de Fermat. Si l’on effectue les
calculs pour n = 0, 1, 2, 3 et 4, on obtient les nombres premiers p = 3, 5, 17, 257 et
65 537, qui correspondent à des polygones à p côtés que l’on peut construire.
Lorsque l’on essaie n = 5, le nombre de Fermat est p = 2
32 + 1 = 4 294 967 297. Pierre
de Fermat conjectura qu’ils étaient tous des nombres premiers, mais malheureusement, celui-ci n’en est pas un, parce que 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417. Si l’on
prend n = 6 ou 7, les résultats sont des nombres de Fermat gigantesques, mais,
comme avec n = 5, aucun n’est premier.
Y a-t-il d’autres nombres premiers de Fermat ? Il est prudent de dire que non, mais
personne ne le sait de façon certaine.
l’idée clé
Prenez une règle
et un compas…
Naissance
d’un prince
Carl Friedrich fut si impressionné d’avoir
réussi à prouver que l’on peut construire
un polygone à 17 côtés qu’il décida de
mettre un terme à ses études de langues
et de devenir mathématicien. Le reste
appartient à l’histoire : on le surnomma le
« prince des mathématiques ». La forme
du polygone à 17 côtés a été choisie
pour construire la base de son mémorial
à Göttingen en Allemagne, hommage
digne de son génie.
livre Géometrie du compas qu’il écrivit en 1797 et
dédié à Napoléon, tient à sa rédaction en vers.
Pour le cas général, les polygones à p côtés où p est
un nombre premier sont particulièrement importants. Nous avons déjà construit le polygone à
3 côtés, et Euclide construisit le polygone à 5 côtés,
mais il ne parvint pas à construire de polygone à
7 côtés (l’heptagone). Étudiant le problème à l’âge
de 17 ans, un certain Carl Friederich Gauss prouva
la négation. Il prouva par déduction qu’il n’est pas
possible de construire un polygone à p côtés pour
p = 7, 11, ou 13.
Mais Gauss prouva également une proposition
positive, à savoir qu’il est possible de construire un
polygone à 17 côtés. En réalité, il alla bien plus loin
en prouvant que l’on peut construire un polygone
à p côtés si et seulement si le nombre premier p est
de la forme
p = 2
2
n + 1.
Les nombres de cette forme sont appelés les nombres de Fermat. Si l’on effectue les
calculs pour n = 0, 1, 2, 3 et 4, on obtient les nombres premiers p = 3, 5, 17, 257 et
65 537, qui correspondent à des polygones à p côtés que l’on peut construire.
Lorsque l’on essaie n = 5, le nombre de Fermat est p = 2
32 + 1 = 4 294 967 297. Pierre
de Fermat conjectura qu’ils étaient tous des nombres premiers, mais malheureusement, celui-ci n’en est pas un, parce que 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417. Si l’on
prend n = 6 ou 7, les résultats sont des nombres de Fermat gigantesques, mais,
comme avec n = 5, aucun n’est premier.
Y a-t-il d’autres nombres premiers de Fermat ? Il est prudent de dire que non, mais
personne ne le sait de façon certaine.
l’idée clé
Prenez une règle
et un compas…
Naissance
d’un prince
Carl Friedrich fut si impressionné d’avoir
réussi à prouver que l’on peut construire
un polygone à 17 côtés qu’il décida de
mettre un terme à ses études de langues
et de devenir mathématicien. Le reste
appartient à l’histoire : on le surnomma le
« prince des mathématiques ». La forme
du polygone à 17 côtés a été choisie
pour construire la base de son mémorial
à Göttingen en Allemagne, hommage
digne de son génie.