50 clés pour comprendre les maths
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L’expression « la quadrature du cercle » est communément utilisée pour désigner
l’impossible. L’équation algébrique x
2 – 2 = 0 a pour solutions x = √2 et x = – √2. Ce
sont des nombres irrationnels (on ne peut pas les écrire sous forme de fractions),
mais montrer que la quadrature du cercle est impossible revient à montrer que π ne
peut pas être solution d’une équation algébrique. Les nombres irrationnels qui ont
cette propriété sont appelés des nombres transcendants parce que leur irrationalité
est « plus élevée » que celle de leurs cousins irrationnels de la forme √2.
Les mathématiciens croyaient généralement que π était un nombre transcendant
mais cette « énigme éternelle » restait difficile à prouver jusqu’au jour où Ferdinand
von Lindemann se servit, en l’adaptant, d’une technique mise au point par Charles
Hermite. Hermite l’avait utilisée pour prouver que la base des logarithmes naturels,
e, était transcendante, problème plus facile à résoudre (voir page 26).
Après le résultat de Lindemann, on aurait pu penser que tarirait enfin le flot d’articles publiés par ces irréductibles « spécialistes de la quadrature du cercle ». Pas du
tout. Il y avait toujours dans les coulisses des mathématiques de joyeux drilles qui
rechignaient à accepter la logique de la preuve et d’autres qui n’avaient jamais
entendu parler d’elle.
Construction de polygones Euclide posa le problème de la construction
d’un polygone régulier. Il s’agit d’une figure symétrique à plusieurs côtés,
comme un carré ou un pentagone, dont tous les côtés sont
de longueur égale et dont les côtés adjacents délimitent des
angles égaux entre eux. Dans son ouvrage célèbre, les Éléments
(Livre 4), Euclide a montré comment on pouvait construire des
polygones à 3, 4, 5, et 6 côtés à l’aide de nos deux seuls outils de
base, la règle et le compas.
Le polygone à 3 côtés est ce que nous appelons communément
un triangle équilatéral, figure qui est particulièrement simple
à construire. Quelle que soit la taille du triangle que vous
voulez construire, notez un point A et un point B séparés
par la distance souhaitée. Placez la pointe du compas sur
le point A et dessinez une partie du cercle de rayon AB.
Répétez le processus en plaçant la pointe du compas
sur le point B et en conservant le même rayon. Le point
d’intersection de ces deux arcs de cercle se trouve en P. Comme AP = AB et
BP = AB, alors les trois côtés du triangle APB sont égaux. Le triangle peut être
tracé en joignant AB, AP et BP à la règle.
Si vous pensez que travailler avec une règle est un luxe, vous n’êtes pas le seul :
le danois Georg Mohr le pensait aussi. Le triangle équilatéral se construit à partir
du point P et, pour ce faire, seul le compas est nécessaire. La règle ne sert qu’à
relier physiquement les points entre eux. Mohr a montré que toute construction
réalisable à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul. L’Italien Lorenzo
Mascheroni prouva le même résultat 125 ans plus tard. Toute l’originalité de son
La construction
d’un triangle
équilatéral
P
A
B
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L’expression « la quadrature du cercle » est communément utilisée pour désigner
l’impossible. L’équation algébrique x
2 – 2 = 0 a pour solutions x = √2 et x = – √2. Ce
sont des nombres irrationnels (on ne peut pas les écrire sous forme de fractions),
mais montrer que la quadrature du cercle est impossible revient à montrer que π ne
peut pas être solution d’une équation algébrique. Les nombres irrationnels qui ont
cette propriété sont appelés des nombres transcendants parce que leur irrationalité
est « plus élevée » que celle de leurs cousins irrationnels de la forme √2.
Les mathématiciens croyaient généralement que π était un nombre transcendant
mais cette « énigme éternelle » restait difficile à prouver jusqu’au jour où Ferdinand
von Lindemann se servit, en l’adaptant, d’une technique mise au point par Charles
Hermite. Hermite l’avait utilisée pour prouver que la base des logarithmes naturels,
e, était transcendante, problème plus facile à résoudre (voir page 26).
Après le résultat de Lindemann, on aurait pu penser que tarirait enfin le flot d’articles publiés par ces irréductibles « spécialistes de la quadrature du cercle ». Pas du
tout. Il y avait toujours dans les coulisses des mathématiques de joyeux drilles qui
rechignaient à accepter la logique de la preuve et d’autres qui n’avaient jamais
entendu parler d’elle.
Construction de polygones Euclide posa le problème de la construction
d’un polygone régulier. Il s’agit d’une figure symétrique à plusieurs côtés,
comme un carré ou un pentagone, dont tous les côtés sont
de longueur égale et dont les côtés adjacents délimitent des
angles égaux entre eux. Dans son ouvrage célèbre, les Éléments
(Livre 4), Euclide a montré comment on pouvait construire des
polygones à 3, 4, 5, et 6 côtés à l’aide de nos deux seuls outils de
base, la règle et le compas.
Le polygone à 3 côtés est ce que nous appelons communément
un triangle équilatéral, figure qui est particulièrement simple
à construire. Quelle que soit la taille du triangle que vous
voulez construire, notez un point A et un point B séparés
par la distance souhaitée. Placez la pointe du compas sur
le point A et dessinez une partie du cercle de rayon AB.
Répétez le processus en plaçant la pointe du compas
sur le point B et en conservant le même rayon. Le point
d’intersection de ces deux arcs de cercle se trouve en P. Comme AP = AB et
BP = AB, alors les trois côtés du triangle APB sont égaux. Le triangle peut être
tracé en joignant AB, AP et BP à la règle.
Si vous pensez que travailler avec une règle est un luxe, vous n’êtes pas le seul :
le danois Georg Mohr le pensait aussi. Le triangle équilatéral se construit à partir
du point P et, pour ce faire, seul le compas est nécessaire. La règle ne sert qu’à
relier physiquement les points entre eux. Mohr a montré que toute construction
réalisable à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul. L’Italien Lorenzo
Mascheroni prouva le même résultat 125 ans plus tard. Toute l’originalité de son
La construction
d’un triangle
équilatéral
P
A
B